LE THÉORÈME D'ERGODICITÉ QUANTIQUE
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pour tout x = (xi, ... , Xd+i) E §~. On dira que f est de classe Ck
sur §d si /o est de classe Ck sur§~. Si f est de classe C 2 sur §d, on
définira !:::i..sdf comme la restriction à §d de !:l.JRd+i/o.
Soit a> 0 et soit fa une fonction a-homogène sur§~, c'est-à-dire
que
(10)
fa(x) = llxlla fa (x/llxll) ·
Autrement dit, si l'on pose g(r, u) =fa( ru) pour l-a- 1 < r 2 < 1 +a
et u E §d, on a g(r, u) = rag(l, u). A l'aide de la formule (1), on
calcule «à la main» l'expression
(11) (!:::i..JRd+ifa)(x)
= œ(œ + d- l)llxlla- 2 fa (x/llxll) + llxlla- 2 !:l.sd/a (x/llxll),
autrement dit
Cette expression du laplacien !:l.JRd+i en coordonnées sphériques reste
vraie pour des fonctions quelconques, car les combinaisons linéaires
de fonctions homogènes sont denses dans ck(§~).
La mesure de Lebesgue sur JRd+l, c:ted+l(x) = dx1 .. ·dxd+l, est
homogène de degré d + 1, c'est-à-dire qu'elle est multipliée par Àd+l
sous l'action de l'homothétie linéaire de rapport À> O. Ceci implique
qu'il existe une mesure positive Ud sur §d telle que l'on ait
pour toute fonction f sur JRd+l pour lesquelles ces intégrales sont
absolument convergentes. On a, pour tout A C §d,
ud(A) = t'+l ( { x E §~ 1 x/llxll E A}) (l + a)d+l ~ ~:- a-1 )d+l ·
Notons que cette mesure dud est invariante par l'action de tous les
éléments de O(d, JR), ce qui signifie que ud(A) = ud(M(A)) pour
toute matrice M E 0( d, JR) (c'est pourquoi on l'appelle parfois mesure
uniforme sur §d).