116
NALINI ANANTHARAMAN
Mettant bout à bout ces inégalités, faisant tendre E vers l'infini,
et donc 1i vers 0, à T fixé, on constate que
limsup N(lE) L l( E--++oo
n,>.,.E;;E
}ydxJRd
pour T arbitraire.
On prend maintenant la limite T ---+ +oo : le lemme 1.6 montre
que ilf(x,Ç) ---+ 0 pour presque tout Ç, et par convergence dominée
on a
d'où finalement
limsup N(lE) L l( E--++oo
n
>.nE;;E
ce qui conclut la preuve du théorème.
D
2. Fonctions propres de la sphère ronde
A titre de comparaison, décrivons le laplacien et ses fonctions
propres sur la sphère. On renvoie au livre [Far08], Chap. 9, pour une
présentation plus détaillée.
2.1. Laplacien et fonctions propres sur la sphère
La sphère de dimension d est la sous-variété de JRd+l
§d = {(x1, ... 'Xd+i) E JRd+l 1 X~+ ... + x~+l = 1 }.
La sphère §d peut être munie de la structure riemannienne héritée de
la structure euclidienne de JRd+l. Elle rentre donc dans le cadre général qui sera décrit au paragraphe 3.1. Nous donnons ici une construction ad hoc du laplacien sur §d et décrivons une base de fonctions
propres, les harmoniques sphériques.
Soit a > 1 arbitraire. Toute fonction f sur §d peut être étendue de
manière unique en une fonction f o sur
§~ = {(x1 1 . . . ,Xd+i) EJRd+l l l-a- 1 ~x~+ .. ·+x~+l ~ l+a}
qui coïncide avec f sur §d, et qui soit 0-homogène, c'est-à-dire qui
satisfasse
fo(x) = fo (x/llxll)