LE THÉORÈME D'ERGODICITÉ QUANTIQUE
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ou, en intégrant sur un intervalle [O, T] quelconque,
(n, an) = ~ foT ( n, e-itM'fd/2 a eitlit::..Td/2n) dt.
Si l'on se souvient que la multiplication par a coïncide avec l'opérateur
Opli(a), le théorème d'Egorov permet ensuite de transformer cette
dernière égalité en
où l'on a noté
1 {T
ar(x, Ç) = T Jo a(x + tÇ)dt.
Il vient donc
1 " " 2
2
N(E) ~X (An/E) l(n,OP!i(a)n)I
1 " " 2
2
= N(E) L.,,X (An/E) l(n,OP!i(ar)n)I
(9)
n
1
+ O(nlTI) N(E) ~x 2 (An/E)
1 " " 2
2
= N(E)~X (An/E)l(n,OP!i(ar)n)I +O(nlTI).
Pour passer de la deuxième à la troisième ligne, on a utilisé la
loi de Weyl, selon laquelle N(E) ,...., CEdf 2 , ce qui implique que
En x 2 (An/ E) = O(Edf 2 ).
A ce stade on prend li= n(E) = E- 1 1 2 , et on remarque que
X 2 (An/ E) l(ni Opli(ar )n)l 2 = l(n, Opli(ar )x (ô./ E) n) 1 2
= 1 (n, Opli(ar(x, Ç)x(llÇll 2 ) )n) 1 2 •
Pour majorer la dernière ligne de (9), on utilise la norme de HilbertSchmidt de l'opérateur Opli(ar(x, Ç)x(llÇll 2 )) :
+oo
L 1 (n, Opli( ar(x, Ç)x(llÇll 2 ) )n) 1 2 ~ llOP!i( ar(x, Ç)x(llÇll 2 )) ll~s
n=O
et l'on a vu dans la proposition 6.6 du texte de C. Fermanian (ce volume) que
llOP!i(ar(x, Ç)x(llÇll 2 ))11~s ,...., (27rn)-d f
a~(x, Ç)x 2 (11Çll 2 )dxdÇ.
J-rdx'JR.d
Notons aussi que d'après la loi de Weyl, N(E) ,...., CEd/ 2 ,....,
C(27rn)-d pour des constantes C, C >O.