114
NALINIANANTHARAMAN
et donc
lim Tl {T ek(Xo + tÇo)dt = 0 = r ek(x)dx.
ITl--Hoo lo
lxeTd
On voit aussi que la condition du lemme est nécessaire : si k • Ço = O,
on a convergence de la quantité (8), mais vers une quantité autre que
fxeTd a(x)dx.
D
On commence à présent la preuve du théorème 1.4. On utilise les
résultats énoncés par C. Fermanian (ce volume), portant sur la quantification Opli.(a) pour a: R.d x R.d-+ C, (27rZ)d-périodique en x.
On a vu à la remarque 1.3 que si b(x,Ç) = x(llÇll 2 ) on a Opli.(b) =
x(-1i 2 D.-rd). Par ailleurs, on a
Opli.(a(x, Ç)) o Opli.(x(llÇll 2 )) = Opli.(a(x, Ç)x(llÇll 2 )) + O(li),
et cette relation est même exacte (sans O(li)) si, au lieu de la quantification de Weyl, on utilise la quantification appelée classique au
§ 1.3 du texte de C. Fermanian - ce que l'on peut faire sans changer
l'énoncé final du théorème.
Du texte de C. Fermanian, on rappelle le théorème d'Egorov:
e-itli.A.yd/ 2 Opli.(a(x, Ç))eitli.~vd/ 2 = Opli.(a(x + tÇ, Ç)) + O(ltlli)
valable pour toute fonction a de classe C 00 , dont chaque dérivée est
uniformément bornée (l'estimation de l'erreur est moins bonne pour
la quantification classique que pour la quantification de Weyl, mais
cela n'aura aucune importance ici). L'estimée du reste est valable
dans l'espace 2(L 2 (']['d)) des endomorphismes continus de L 2 (']['d).
En remplaçant a par a - f-rd a(x)dx, on se ramène au cas où
f-rd a(x)dx =O.
On commence par écrire
si x est une fonction dans Cgc>(R.), constante égale à 1 sur [O, l].
Soient t et li quelconques. En utilisant le fait que les fonctions propres du laplacien on a
(