LE THÉORÈME D'ERGODICITÉ QUANTIQUE
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dépendant que de x. Ceci explique qu'on puisse démontrer le théorème 1.4, théorème d'ergodicité quantique restreint aux opérateurs de
multiplication par a(x).
Il est légitime de s'interroger sur l'intérêt du théorème 1.4, étant
donné que l'on connaît une base orthonormée explicite de fonctions
propres de 6.'fd (les fonctions ek) pour laquelle le résultat est évident :
on constate en effet que
pour tout k. Donnons deux réponses à cette objection : d'une part,
à cause de la multiplicité des valeurs propres du laplacien, le choix
d'une telle base orthonormée n'est pas unique, et il peut être intéressant d'avoir un résultat valable pour n'importe quelle base de
fonctions propres (on verra d'ailleurs plus bas qu'il y a des question intéressantes à se poser sur les fonctions propres générales du
laplacien sur 'Jl'd, c'est à-dire les fonctions de la forme (2)). Deuxième
réponse : le théorème 1.4 dans le cas particulier du tore nous permet de donner une présentation relativement simple, en évitant le
langage des variétés riemanniennes, de la preuve du théorème d'ergodicité quantique. La preuve présentée ci-dessous s'adaptera mot pour
mot à des variétés plus générales, la difficulté supplémentaire étant
surtout de savoir définir les objets.
Le lemme suivant est une version du lemme de Kronecker-Weyl :
Lemme 1.6. Soit a E c 0 (r) et soit Ç0 E JR.d dont les coordonnées
dans la base canonique sont indépendantes sur Q. Alors, quel que
soit xo E 'Jl'd,
lim Tl {T a(xo + tÇo)dt = f a(x)dx.
ITl-Hoo Jo
lxE'fd
Démonstration. Par densité de Vect(ek)kEZ dans l'espace c 0 (1l'd)
(muni de la norme de la convergence uniforme), il suffit de démontrer
le lemme pour a= ek. Pour k = 0 c'est évident, la fonction ek étant
constante. Pour k =f. 0, on sait par hypothèse que k • Ço =f. O. On a
(8)
.!:_ {T eik•(xo+teo)dt = eik•xo(eiTk•xo -1)
T lo
iTk • Ço
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dépendant que de x. Ceci explique qu'on puisse démontrer le théorème 1.4, théorème d'ergodicité quantique restreint aux opérateurs de
multiplication par a(x).
Il est légitime de s'interroger sur l'intérêt du théorème 1.4, étant
donné que l'on connaît une base orthonormée explicite de fonctions
propres de 6.'fd (les fonctions ek) pour laquelle le résultat est évident :
on constate en effet que
pour tout k. Donnons deux réponses à cette objection : d'une part,
à cause de la multiplicité des valeurs propres du laplacien, le choix
d'une telle base orthonormée n'est pas unique, et il peut être intéressant d'avoir un résultat valable pour n'importe quelle base de
fonctions propres (on verra d'ailleurs plus bas qu'il y a des question intéressantes à se poser sur les fonctions propres générales du
laplacien sur 'Jl'd, c'est à-dire les fonctions de la forme (2)). Deuxième
réponse : le théorème 1.4 dans le cas particulier du tore nous permet de donner une présentation relativement simple, en évitant le
langage des variétés riemanniennes, de la preuve du théorème d'ergodicité quantique. La preuve présentée ci-dessous s'adaptera mot pour
mot à des variétés plus générales, la difficulté supplémentaire étant
surtout de savoir définir les objets.
Le lemme suivant est une version du lemme de Kronecker-Weyl :
Lemme 1.6. Soit a E c 0 (r) et soit Ç0 E JR.d dont les coordonnées
dans la base canonique sont indépendantes sur Q. Alors, quel que
soit xo E 'Jl'd,
lim Tl {T a(xo + tÇo)dt = f a(x)dx.
ITl-Hoo Jo
lxE'fd
Démonstration. Par densité de Vect(ek)kEZ dans l'espace c 0 (1l'd)
(muni de la norme de la convergence uniforme), il suffit de démontrer
le lemme pour a= ek. Pour k = 0 c'est évident, la fonction ek étant
constante. Pour k =f. 0, on sait par hypothèse que k • Ço =f. O. On a
(8)
.!:_ {T eik•(xo+teo)dt = eik•xo(eiTk•xo -1)
T lo
iTk • Ço