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NALINI ANANTHARAMAN
que l'on supposera ordonnées de sorte que Àn ~ Àn+I • Soit a E c 0 ('Ird).
Alors il existe une suite croissante d'entiers (nk) telle que
lim ( k--++oo
J.rd
et
#{k 1 Ànk ~ E} rv N(E).
En utilisant le fait qu'il existe une suite {dénombrable) dense dans
c 0 ('Jl'd) et en utilisant un procédé d'extraction diagonale, on pourrait
même s'arranger pour que la suite (nk) soit indépendante de la fonction a. L'énoncé nous dit alors que les mesures l au sens faible vers la mesure de Lebesgue dx.
Ces énoncés ne rentrent pas, à strictement parler, dans le cadre
du« véritable» théorème d'ergodicité quantique qui sera énoncé plus
bas : en effet, le flot géodésique sur le tore, c'est-à-dire la famille
d'applications
{où t E :IR) n'est pas ergodique, pour la raison simple qu'il laisse invariante la deuxième coordonnée. Rappelons que l'ergodicité signifierait
l'identité des moyennes temporelles et spatiales
(7)
lim Tl fTa(xo+tÇo,Ço)dt=J 1'd a(x,llÇollu)dxdud-1(u)
ITl--++oo lo
zE
uesd--l
pour toute fonction continue a : 'Ird x JRd -t lR et pour Lebesguepresque-tout couple de données initiales (xo, Ço) {dans cette formule
dud-1(u) est de nouveau la mesure de volume {d-1)-dimensionnel sur
la sphère sd-l, voir sa définition dans la section sur les sphères, § 2).
Il est clair par exemple que l'identité (7) ne peut avoir lieu si a= a(Ç)
est une fonction qui ne dépend que de la deuxième variable Ç.
Il est cependant classique {lemme 1.6) que si a ne dépend pas de la
coordonnée Ç, autrement dit si on considère une fonction a : 'Ird -t :IR,
on a
lim Tl fT a(x 0 +tÇ0 )dt=1
a(x)dx
ITl-Hoo lo
zeTd
pour presque tout Ço {plus explicitement, si et seulement si l'hyperplan çc} n'intersecte zd qu'en 0, autrement dit si les coordonnées de Ç0
dans la base canonique sont indépendantes sur Q). On a donc, sur le
tore, un phénomène d'ergodicité restreinte à la classe des fonctions ne