LE THÉORÈME D'ERGODICITÉ QUANTIQUE
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Le théorème implique donc que limE---++oo e(E) =O. De plus, on peut
écrire
/;;Ji)# { n 1 E/2 < Àn ~ E, l(n,an) - hd a(x)dxl
2 ;;:: /;;Ji)}
~ ~ l(n,an) - hd a(x)dx1
2
•
E/2<Àn~E
Si l'on appelle ÂE C N l'ensemble
ÂE = {n 1 E/2 < Àn ~ E, l(n,an)- hda(x)dxl
2 ;;:: /;;Ji)},
on a donc, en divisant par N(E) - N(E /2),
./€[E}
~
N(E) - N(E/2) . #AE ""e(E).
Finalement,
(5)
#AE ~/;;fi) (N(E) - N(E/2)).
On a donc, en notant A'fu le complémentaire de AE,
(1- /;(ji)) (N(E) -N(E/2)) < #A'fu ~ N(E) - N(E/2),
la deuxième inégalité étant évidente, et la première découlant de (5).
Prenant E = 2M, on peut donc choisir une suite croissante d'entiers (nk) telle que
(6)
dès que Ànk E [2M-I, 2M], et telle que
#{k l Ànk E [2M-I,2M]};;:: (i - Je(2M) )(N(2M)-N(2M-I)),
ce qui signifie que la proportion des k tels que Ànk E [2M-I, 2M] et qui
vérifient (6) tend vers 1. On voit ainsi que le théorème est équivalent
à l'énoncé suivant :
Corollaire 1.5. Soit (n)neN une base hilbertienne de L 2 (1'd) formée
de fonctions propres du laplacien :
~'fdn = -Ànn