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NALINI ANANTHARAMAN
où l'erreur 0( ../E) correspond aux points qui ont été comptés plusieurs fois, c'est-à-dire ceux qui sont sur les axes de coordonnées. Par
ailleurs
u ck c C(VE+ J2),
kEC( YE)nZ2
d'où, en comparant de nouveau les aires des deux ensembles,
N(E) ~ nE + O(VE).
En fin de compte on a donc N(E) = nE + O(../E).
Il est en fait conjecturé que N(E) = nE + O(E 1 /4+e) pour tout
e > 0, et Huxley (Hux02] a démontré que N(E) = nE + O(E 1 3 1 / 41 6).
Dennis Hejhal estimait en 1976 que cette conjecture était peut-être
plus difficile encore que l'hypothèse de Riemann (Hej76].
1.3. Ergodicité quantique sur le tore
Nous démontrons maintenant le théorème suivant :
Théorème 1.4. Soit (n)neN une base hilbertienne de L 2 ('fd) formée
de fonctions propres du laplacien :
.Ü'Jl'dn = -Ànn
que l'on supposera ordonnées de sorte que Àn ~ Àn+ 1 · Soit a E c 0 ('fd).
Alors
E!i~oo NtE) ~ 1 (n, an} - hd a(x )dxl2 = O.
Àn~E
Remarquons que le produit scalaire (n, an} n'est rien d'autre que
f'Jl'd a(x)ln(x)l 2 dx.
Nous utiliserons la notation
e(E) = N(E) -lN(E /2)
~ 1 (n, an} - hd a(x )dxl2
E/2<>.nir;,.E
D'après la loi de Weyl {3),
N(E)
N(E) - N(E/2) = O{l).