LE THÉORÈME D'ERGODICITÉ QUANTIQUE
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Hilbert-Schmidt donnée par C. Fermanian dans son§ 3.1 (ce volume),
pour écrire
LX 2 (1ï 2 Àn) = llx(-lï 2 Â'fd)ll~s = llOPn(x(llÇl1 2 ))1i~s
n
et on applique la proposition 6.6 du texte de C. Fermanian :
ll0Pn(x(llÇll 2 )) ll~s ""n-+o (27rlï)-d f
x 2 (11Çll 2 )dx dÇ
}ydxJR.d
""(27rlï)-d(27r)d f x2(11çl12)dÇ,
}JR.d
ce qui est identique à la formule (4) en remplaçant x par x 2 et en posant lï = E- 1 1 2 . L'avantage de cette preuve, plus compliquée, est
qu'elle s'adapte à des situations où l'on ne connaît pas explicitement le spectre du laplacien. Le désavantage est qu'il faut supposer x
de classe C 00 pour que les résultats prouvés par C. Fermanian s'appliquent (pour passer à des fonctions moins régulières, telles que des
fonctions caractéristiques, il faut procéder par encadrements).
Il est difficile d'obtenir une estimation de l'erreur. Dans le cas présent, on peut faire le raisonnement suivant, qui ne donne cependant
pas une estimation optimale de l'erreur. Restreignons-nous à la dimension d = 2.
Pour des raisons de symétrie, pour estimer N(E) il suffit de multiplier par 4 le nombre de points de coordonnées entières dans le
cadran
C(VE) = {(x1,x2) E R 2 I x1 ~ O,x2 ~ 0, Jx~ +x~ ~VE}.
Si k = (ki, k2) E N 2 est un vecteur entier dans C( VE), on note Ck le
carré [ki, k1+1) x [k2, k2 + 1). Il est clair que
C(VE) c
u ck,
keC( ./E)nV
l'union étant disjointe. Comme chaque carré est d'aire 1, on en déduit
en comparant les aires de ces deux ensembles que
Aire(C(VE)) = 11": ~ L 1
keC( ./E)nz 2
On raisonne de même dans les 4 cadrans, on somme les 4 inégalités
ainsi obtenues et on obtient
7rE ~ N(E) + O(VE)