108
NALINI ANANTHARAMAN
ailleurs. La fonction f étant intégrable, on a convergence des sommes
de Riemann
~
L
f(k/../E)--+ r f = VolBRd(Ü, 1).
VE
d
}Rd
k=(k1, ... ,kd)EZ
On obtient donc l'asymptotique suivante, qui est un cas particulier
de la loi de Weyl qui sera énoncée plus bas :
(3)
quand E ~ +oo. On montre de la même manière que pour toute
fonction x Riemann intégrable sur R.
(4)
L x(llkll 2 /E) l"V ../Ed <7d-1(sd-l) lo+oo x(r 2 )rd-ldr,
k=(ki, ... ,kd)ezd
o
où a d-l (sd-l) est la mesure ( d-1 )-dimensionnelle totale de la sphère
unité sd-l (voir la section concernant la sphère pour une définition
plus précise).
Remarque 1.3. Voici une méthode plus savante pour démontrer le
même résultat, en faisant le lien avec les résultats sur les opérateurs
pseudo-différentiels démontrés par C. Fermanian (ce volume). Si x
est une fonction de classe C 00 sur R., à support compact, notons
x(-~'fd) l'opérateur défini sur L 2 (1rd) par son action sur la base
hilbertienne ( ek) :
Comme conséquence de la formule d'inversion de Fourier, on a
et donc on a l'identité entre opérateurs
Opli(x(llÇll 2 )) = x(-li 2 ~'fd).
(on a utilisé la notation abusive, mais pratique, Opli(x(llÇll 2 )) pour
désigner l'opérateur Opli(a) où a est la fonction (x, Ç) i-t x(llÇll 2 ). On
continuera par la suite à pratiquer ce genre d'abus de notation).
La loi de Weyl peut maintenant se démontrer ainsi : si l'on note
(An) les valeurs propres de -~'fd, ordonnées de manière croissante et
répétées avec leurs multiplicité, on utilise la définition de la norme de