LE THÉORÈME D'ERGODICITÉ QUANTIQUE
Fourier est de la forme
(2)
f(x) = L Ckeik•x,
kezd
llkll 2 =À
107
où les Ck sont les coefficients de Fourier de f. On observe donc que
• Les valeurs propres À sont exactement les entiers positifs qui
peuvent s'écrire comme sommes de d carrés;
• La multiplicité m(.X) de la valeur propre À, définie comme la
dimension du sous-espace propre associé, est exactement le nombre
de décompositions de À comme somme de d carrés (si l'on compte
toutes les décompositions, même celles qui ne diffèrent que par le
signe ou par l'ordre).
Pour d = 2, le théorème des deux carrés (dont il existe plusieurs
démonstrations, dues à Fermat, Euler, Gauss ... ) dit que À est somme
de deux carrés si et seulement si chacun de ses facteurs premiers de
la forme 4k+3 intervient à une puissance paire. La multiplicité m(.X)
est une fonction non bornée de À, mais étudier de manière fine sa
dépendance en À est une question très difficile en théorie des nombres.
C'est d'ailleurs ce qui donne un intérêt à l'étude, que nous présentons ci-dessous, des fonctions propres sur le tore : si m(.X) était
bornée, l'étude des sommes de la forme (2) n'aurait que peu d'intérêt. C'est parce que le nombre de termes dans la somme peut être
arbitrairement grand qu'il y a des questions intéressantes à se poser.
1.2. Loi de Weyl
S'il est très difficile d'étudier les fluctuations de la multiplicité
m(.X), il est en revanche plus aisé de comprendre son comportement
moyen: on note N(E) = L>.~E m(>.) le nombre de valeurs propres de
-d'Jl'd inférieures à E. C'est aussi le nombre de points à coordonnées
entières k = ( ki, ... , kd) contenus dans la boule de centre 0 et de
rayon VE de R.d. Décrivons le comportement asymptotique de N(E)
quand E -t +oo.
On peut remarquer que
N(E) =
J(k/VE),
k=(k1,. . .,kd)ezd
où f est la fonction qui vaut 1 sur la boule fermée BJRd(O, 1) de R.d,
de centre 0 et de rayon 1, dont nous noterons Vol le volume, et 0
Fourier est de la forme
(2)
f(x) = L Ckeik•x,
kezd
llkll 2 =À
107
où les Ck sont les coefficients de Fourier de f. On observe donc que
• Les valeurs propres À sont exactement les entiers positifs qui
peuvent s'écrire comme sommes de d carrés;
• La multiplicité m(.X) de la valeur propre À, définie comme la
dimension du sous-espace propre associé, est exactement le nombre
de décompositions de À comme somme de d carrés (si l'on compte
toutes les décompositions, même celles qui ne diffèrent que par le
signe ou par l'ordre).
Pour d = 2, le théorème des deux carrés (dont il existe plusieurs
démonstrations, dues à Fermat, Euler, Gauss ... ) dit que À est somme
de deux carrés si et seulement si chacun de ses facteurs premiers de
la forme 4k+3 intervient à une puissance paire. La multiplicité m(.X)
est une fonction non bornée de À, mais étudier de manière fine sa
dépendance en À est une question très difficile en théorie des nombres.
C'est d'ailleurs ce qui donne un intérêt à l'étude, que nous présentons ci-dessous, des fonctions propres sur le tore : si m(.X) était
bornée, l'étude des sommes de la forme (2) n'aurait que peu d'intérêt. C'est parce que le nombre de termes dans la somme peut être
arbitrairement grand qu'il y a des questions intéressantes à se poser.
1.2. Loi de Weyl
S'il est très difficile d'étudier les fluctuations de la multiplicité
m(.X), il est en revanche plus aisé de comprendre son comportement
moyen: on note N(E) = L>.~E m(>.) le nombre de valeurs propres de
-d'Jl'd inférieures à E. C'est aussi le nombre de points à coordonnées
entières k = ( ki, ... , kd) contenus dans la boule de centre 0 et de
rayon VE de R.d. Décrivons le comportement asymptotique de N(E)
quand E -t +oo.
On peut remarquer que
N(E) =
J(k/VE),
k=(k1,. . .,kd)ezd
où f est la fonction qui vaut 1 sur la boule fermée BJRd(O, 1) de R.d,
de centre 0 et de rayon 1, dont nous noterons Vol le volume, et 0