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NALINI ANANTHARAMAN
Si f et g sont à valeurs complexes, on a aussi
En appliquant ces identités à f = g, on en déduit que
[ 1 Dt.'fdf ~ 0
}'fd
pour tout f, et donc que les valeurs propres de ll.'fd sont des réels
négatifs (c'est pourquoi on notera de préférence -À, avec À ~ 0, les
valeurs propres). De plus, si f est fonction propre, Ré(!) et lm(!) le
sont aussi (si elles sont non nulles). Enfin, si f et g sont des fonctions
propres associées à des valeurs propres distinctes -µ et -À, on a
f'fd g Dt.'fdf = fTd f Dt.'fd9 doncµ f'fd f g =À f'fd f g, donc
[ f g =o.
}'fd
Tout ceci peut s'exprimer en disant que ll.'fd est un opérateur symétrique (non borné, de domaine G 2 ('ll'd)) sur l'espace de Hilbert complexe L 2 ('ll'd), qui est le complété de l'espace des fonctions c 0 pour
la norme issue du produit hilbertien (g, /) = f'fd f g. On note 11· 112 la
norme associée :
1/2
111112=(!.rd111 2 ) .
Remarquons que dans le cas du tore, on peut utiliser la décomposition en séries de Fourier pour caractériser complètement les fonctions propres de fl.yd. Pour k = (k1, ... , kd) E •z,d, les fonctions
ek : x = (xi, ... , xd) i-+ eik•œ (avec k • x = kix1 + · · · + kdxd)
sont des fonctions propres du laplacien, on a en effet
Dt.'fdek = -llkll 2 ek,
où llkll 2 = k~ + · · · + k~. D'après la théorie des séries de Fourier, on
sait que les fonctions ek sont linéairement indépendantes, et qu'elles
forment une base hilbertienne de l'espace L 2 ('ll'd), ce qui signifie que
Vect(ek)keZ est dense dans L 2 ('Il'd). Ceci est d'ailleurs un cas particulier du théorème de diagonalisation 3. 7 énoncé plus bas.
Plus généralement, f est une fonction propre de ll.'fd, associée à
la valeur propre -À, si et seulement si sa décomposition en séries de