LE THÉORÈME D'ERGODICITÉ QUANTIQUE
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où l est la matrice représentant L tL. On voit que, si A est une isométrie affine, on a ÂJRd(F o A) = (ÀJRdF) o A, c'est-à-dire que ÂJRd
commute avec les isométries affines.
On voit en particulier que si F est A-périodique et de classe C 2
sur Rd, ÂJRdF est aussi A-périodique. Ceci permet de définir sans
ambiguïté l'opérateur laplacien ÂA sur les fonctions de classe 0 2 sur
le tore Rd/ A : si f est une fonction de classe C 2 sur le tore Rd/ A,
on écrit F = f op, et ÂA/ est l'unique fonction sur Rd/ A telle que
ÂJRdF = (ÀA/) op.
Définition 1.1. Soit f une fonction de classe C 2 sur Rd/ A, à valeurs
complexes, non identiquement nulle. On dira que f est une fonction
propre de ÂA s'il existe un nombre complexeµ tel que
Avec ces notations,-µ est la valeur propre de ÂA associée à/, on
verra dans un instant la raison de cette convention de signe.
Dans la suite, pour simplifier, nous nous restreignons à A= (27rZ)d
(mais tous les résultats peuvent s'étendre à des réseaux plus généraux) et on notera yd = Rd/(27rZ)d, et ÂA = Â'fd· Comme on l'a
vu, une fonction continue sur 'll'd n'est rien d'autre qu'une fonction
continue sur Rd qui est 27r-périodique en chaque variable.
Pour f continue bornée sur 'Jl'd, on définit f'fd f = f'fd f(x)dx
comme étant
où x = (x1, ... ,xd) et dx = (27r)-ddx1 · · · dxd est la mesure de Lebesgue normalisée. Par périodicité de F on vérifie que cette définition
est indépendante du choix des réels ai, a2, ... , ad.
En effectuant des intégrations par parties, et en utilisant la périodicité des fonctions considérées, on montre les identités suivantes :
Proposition 1.2. Si f et g sont de classe C 2 sur 'll'd, on a
h
h
d âf âg
h
g Â'fdf = -
I: -â -â = f Â'fdg.
'fd
'fd i=l Xi Xi
'fd