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NALINI ANANTHARAMAN
soit égal à Rd. Si A est un réseau, considérons l'espace quotient Rd/ A
pour la relation d'équivalence (x' ,..., y' -{::::::::} x' - y' E A). Il peut-être
muni de la topologie quotient, définie par la distance
d.11.(x,y) = min{d(x',y') 1 x' représentant de x,y' représentant de y}.
Cet espace est compact. En fait, si l'on considère une base (ei, ... , ed)
de A, de sorte que A= Ze1 E9 · · · E9 Zed, l'application
[O,l]d - t Rd/A
(y1, · ·., Yd) ~ y1e1 + · · · + Yded
est une surjection continue (et c'est une bijection en restriction
à [O, l[d). L'espace Rd/A, qui est homéomorphe à un parallélépipède
[O, l]d dont on recolle les côtés par translation, s'appelle un tore.
Si on le munit de la structure riemannienne héritée de la structure
euclidienne de Rd, ce tore a une courbure nulle, d'où l'appellation
tore plat.
Soit
p :Rd-tRd/A
la projection canonique. Si f est une fonction de Rd/ A dans F(x + .>.) = F(x)
pour tout À E A : autrement dit F est A-périodique. Inversement,
si Fest A-périodique elle s'écrit F = f op pour une unique fonction
f : Rd/ A ---+ R. Ainsi, on peut identifier les fonctions sur Rd/ A aux
fonctions A-périodiques sur Rd. Par définition de la topologie quotient, f est continue si et seulement si F l'est. Nous dirons que f est
de classe Ck sur Rd/ A si F est de classe Ck sur Rd.
Sur Rd, le laplacien est l'opérateur qui s'exprime par la formule
a2
a2
L\JRd = -
+ ... + -
âx 2
âx 2
1
d
dans les coordonnées de la base canonique. Si A est une transformation affine de Rd, de partie linéaire L, et si F est une fonction de
classe C 2 sur Rd, on a la formule
(1)