LE THÉORÈME D'ERGODICITÉ QUANTIQUE
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s'adapter à des potentiels confinants sur R 3 ) qui permet d'aborder
des exemples géométriques de base : tores plats, sphère. Notre but
principal est de démontrer le théorème d'ergodicité quantique: celuici fait le lien entre les propriétés du hamiltonien classique H et celles
des fonctions propres de H. L'hypothèse cruciale de ce théorème est
l'ergodicité du système hamiltonien classique, ce qui signifie que les
trajectoires visitent de manière uniforme leur couche d'énergie. Si
le système hamiltonien classique est ergodique, le théorème dit que
les fonctions propres quantiques ont tendance à être déiocalisées :
ln(x)l 2 est proche de la probabilité uniforme.
On donnera la preuve complète du théorème d'ergodicité quantique
dans le cas des tores plats. Attention, l'hypothèse d'ergodicité n'est
pas satisfaite dans ce cas ! On démontrera donc une version modifiée du théorème, valable seulement pour des observables de position
a(x). Ceci nous permettra d'avoir une preuve qui n'utilise pas de
notions sur les variétés. A titre de comparaison, on décrira ensuite
les fonctions propres de À sur la sphère. On verra, de manière pas
très étonnante, qu'il y a des fonctions propres telles que ln(x)l 2 se
concentre au voisinage de l'équateur (et donc la probabilité de présence n'est pas du tout uniforme). Enfin, on abordera le théorème
d'ergodicité quantique sur les variétés. On ne rentrera pas dans les
détails, mais on dira comment adapter la preuve donnée sur le tore.
L'énoncé général concerne des observables a(x, Ç) dépendant à la fois
de x (position) et de Ç (quantité de mouvement, impulsion).
En conclusion, on évoque brièvement des recherches récentes sur le
sujet, en particulier les travaux d'Elon Lindenstrauss [Lin06], médaillé
Fields 2010.
1. Une version du théorème d'ergodicité quantique pour
les tores plats
1.1. Laplacien et fonctions propres sur un tore plat
Dans toute cette section Rd sera muni de sa structure euclidienne
usuelle (x, y) i-+ x •y, pour laquelle la base canonique est orthonormée, de la norme li· li associée, et de la distance d associée.
On appelle réseau de Rd un sous-groupe A de (Rd, +), discret pour
la topologie induite, et tel que le R-espace vectoriel engendré Vect(A)
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s'adapter à des potentiels confinants sur R 3 ) qui permet d'aborder
des exemples géométriques de base : tores plats, sphère. Notre but
principal est de démontrer le théorème d'ergodicité quantique: celuici fait le lien entre les propriétés du hamiltonien classique H et celles
des fonctions propres de H. L'hypothèse cruciale de ce théorème est
l'ergodicité du système hamiltonien classique, ce qui signifie que les
trajectoires visitent de manière uniforme leur couche d'énergie. Si
le système hamiltonien classique est ergodique, le théorème dit que
les fonctions propres quantiques ont tendance à être déiocalisées :
ln(x)l 2 est proche de la probabilité uniforme.
On donnera la preuve complète du théorème d'ergodicité quantique
dans le cas des tores plats. Attention, l'hypothèse d'ergodicité n'est
pas satisfaite dans ce cas ! On démontrera donc une version modifiée du théorème, valable seulement pour des observables de position
a(x). Ceci nous permettra d'avoir une preuve qui n'utilise pas de
notions sur les variétés. A titre de comparaison, on décrira ensuite
les fonctions propres de À sur la sphère. On verra, de manière pas
très étonnante, qu'il y a des fonctions propres telles que ln(x)l 2 se
concentre au voisinage de l'équateur (et donc la probabilité de présence n'est pas du tout uniforme). Enfin, on abordera le théorème
d'ergodicité quantique sur les variétés. On ne rentrera pas dans les
détails, mais on dira comment adapter la preuve donnée sur le tore.
L'énoncé général concerne des observables a(x, Ç) dépendant à la fois
de x (position) et de Ç (quantité de mouvement, impulsion).
En conclusion, on évoque brièvement des recherches récentes sur le
sujet, en particulier les travaux d'Elon Lindenstrauss [Lin06], médaillé
Fields 2010.
1. Une version du théorème d'ergodicité quantique pour
les tores plats
1.1. Laplacien et fonctions propres sur un tore plat
Dans toute cette section Rd sera muni de sa structure euclidienne
usuelle (x, y) i-+ x •y, pour laquelle la base canonique est orthonormée, de la norme li· li associée, et de la distance d associée.
On appelle réseau de Rd un sous-groupe A de (Rd, +), discret pour
la topologie induite, et tel que le R-espace vectoriel engendré Vect(A)