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NALINI ANANTHARAMAN
de H, c'est-à-dire les solutions de
H'l/Jo=E'l/Jo
avec E E :IR, jouent un rôle particulier : si ' l/Jo est fonction propre
de H, on a
'l/Jt(x) = e-itE/h'l/Jo(x),
et la probabilité de présence l'l/Jt(x)l 2 ne dépend pas du temps. Si
l'on peut trouver une base hilbertienne (n)neN de l'espace de Hilbert des fonctions de carré intégrable L 2 (JR 3 ), formée de fonctions
propres de H (pour les valeurs propres (En)neN), toute donnée initiale se décompose alors selon cette base en une série convergente
dans L 2 (1R 3 ) :
et donc
'l/Jt(x) = f (!ma n'l/Jo)e-itEn/hn(x).
n=O
lR
Les différences de valeurs propres, En - Em, jouent un rôle très important en physique, car elles sont liées aux énergies que le système
peut absorber ou émettre lors d'interactions avec la lumière. Dans
ce texte, nous ne parlerons pas beaucoup des valeurs propres ellesmêmes : les conjectures les concernant sont loin d'être démontrées
mathématiquement (voir le § 3.2 du texte de F. Faure dans ce volume). Nous essaierons de comprendre les probabilités de présence
ln(x)l 2 associées aux fonctions propres n· L'étude mathématique
est assez différente, selon que la particule reste confinée dans une région bornée de l'espace (système fermé) ou qu'elle peut s'échapper à
l'infini (système ouvert). Ceci dépend des propriétés, confinantes ou
non, du potentiel V (essentiellement, V est confinant si V(x) -+ +oo
quand llxll -+ +oo).
Ici nous ne nous intéresserons qu'au cas des systèmes fermés, et
nous essaierons de comprendre comment la géométrie du problème
joue sur les probabilités de présence ln(x)l 2 • Nous regarderons des
cas où il n'y a pas de potentiel (V = 0, donc H est un multiple
du laplacien .6.) mais où la particule est astreinte à se déplacer dans
un espace compact, généralement une variété. Ceci n'est qu'un léger changement de point de vue (en effet, notre discussion pourrait