LE THÉORÈME D'ERGODICITÉ QUANTIQUE
par
N alini Anantharaman
En mécanique quantique, la fonction d'onde 'l/Jt(x) permet de calculer la densité de probabilité de présence l'l/Jt(x)l2 d'une particule
au point x E Jll 3 , à l'instant t. Celle-ci évolue selon l'équation de
Schrôdinger,
inâ'lf; = H'lf;,
ât
où H est l'opérateur hamiltonien, donné (selon Schrôdinger et Heisenberg) par l'expression
n,21).
H= - 2 m + V(x)
si la particule, de masse m, est soumise à une force dérivant d'un
potentiel V. La notation !). désigne le laplacien, et n est la constante
de Planck. L'énergie classique du système admet l'expression énergie
cinétique + énergie potentielle :
H(x, Ç) = 1~~
2
+ V(x)
si Ç E lll 3 est la quantité de mouvement. L'opérateur H se déduit de
la fonction H par les procédés de quantification introduits dans les
textes de F. Faure et C. Fermanian (ce volume). La fonction d'onde
au temps t s'exprime donc grâce à la fonction d'onde au temps 0,
'l/Jt = e-itH/n'l/Jo
(il s'agit ici de l'exponentielle d'un opérateur non borné : cette exponentielle n'est pas définie par une série entière, mais en « diagonalisant » H à condition qu'il soit auto-adjoint). Les fonctions propres