15.5 Corrigés des exercices
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15.5.5 Stratégie mixte
Soit p la probabilité de choisir X pour le premier joueur, et 1 - p la probabilité de
choisir Y.
Soit q la probabilité de choisir A pour le deuxième joueur, et 1 - q la probabilité de
choisir B.
Le premier joueur choisit p de façon à ce que A et B soient indifférents pour le deuxième joueur, les espérances associées à A et B doivent donc être égales. On a donc :
Esperance(A) = 0 x p + 85 x (1 - p) = 85 x (1 - p)
Esperance(B) = 15 x p + 0 x (1 - p) = 15 x p
Or Esperance(A) = Esperance(B) d'où :
85 X (1 - p) = 15 X p
85 = 100 X p
p = 0.85
Le deuxième joueur choisit q de façon à ce que X et Y soient indifférents pour le
premier joueur, ils ont donc des espérances égales :
Esperance(X) = Esperance(Y)
20 X q + 0 X (1 - q) = 0 X q + 15 X (1 - q)
20 X q = 15 - 15 X q
q - 1 5 - �
- 3 5 - 7
15.5.6 Jeu répété
Contre Oeil pour oeil, si on coopère tout le temps on obtient comme gain au temps t :
-1 X ( 1 + ti)t - ... - 1 X (1 + ti)2 - 1 X ( 1 + ti) - 1
Si on commence par trahir puis qu'on coopère on obtient au temps t :
-1 X ( 1 + ti)t - ... - 1 X ( 1 + ti)2 - 10 X ( 1 + ti) - 0
Ce qui fait que la coopération est intéressante si :