1.2. Applications en sciences physiques de la théorie de la relativité d'échelle
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Mais la densité d'énergie cosmique se ramène, comme on l'a vu, à
l'inverse du carré d'une longueur cosmique IL, si bien que PJPI'Pc = (IL/rp'f,
et l'on obtient finalement la relation fondamentale (Nottale, 1993) :
IL/rp = (r 0 /rp) 3
On reconnaît ici une des « relations des grands nombres » d'Eddington-Dirac, qui relie une échelle cosmique à l'échelle de Planck et à
une échelle intermédiaire de physique des particules. Mais alors que la
relation de Dirac était empirique, celle-ci est ici démontrée (en particulier
la puissance 3), et surtout, alors que dans cette relation empirique c'était
l'échelle dépendant du temps c/H qui avait été prise pour caractériser
les très grandes échelles cosmologiques (suscitant ainsi des théories à
variation des constantes, aujourd'hui invalidées, pour conserver malgré
tout cette relation), c'est ici l'échelle invariante IL donnée par la constante
cosmologique qui joue ce rôle. Dans cette nouvelle forme de relation des
grands nombres, toutes les échelles sont invariantes au cours du temps,
et aucune variation des constantes n'est plus nécessaire.
Reste à connaître la valeur de l'échelle de transition r 0 pour en déduire
la valeur de IL= r 0
3 /rl et donc de la constante cosmologique A= l/JL2. On
s'attend déjà à ce que ce soit une échelle typique de particule élémentaire,
mais seules des conjonctures peuvent être faites pour le moment sur
sa valeur précise. Celle qui a été proposée initialement (Nottale, 1993,
chap. 7.1) et qui reste la plus probable est que cette échelle de transition
soit donnée par le « rayon classique » de l'électron re. En dépit de son
nom, le sens physique de cette échelle n'a rien de classique, puisque
l'aire cre = 1t r/ est, en mécanique quantique, la section efficace de collision entre électrons ou entre électrons et positrons à la limite d'énergie
cinétique nulle. Autrement dit, re n'est rien d'autre que le rayon d'un
électron au repos tel qu'il est « vu » par un autre électron.
Or une des premières descriptions du vide quantique est celle,
proposée par Dirac, d'une « mer » d'électrons d'énergies négatives qui
rempliraient tous les états possibles : de cette manière, tout saut d'énergie d'un de ces électrons vers des valeurs positives fait apparaître un
« trou » dans la mer de Dirac qui sera interprété comme un positron.
Si l'on soumet maintenant un tel « vide » quantique à l'expansion de
l'Univers au cours de ses premiers instants, il est concevable que ces
électrons du vide soient également appelés à remplir le vide du point de
vue spatial, ce qui exclurait que leur interdis tance dépasse 2r e' (contrairement aux autres « objets » dont les électrons d'énergie positive qui
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Mais la densité d'énergie cosmique se ramène, comme on l'a vu, à
l'inverse du carré d'une longueur cosmique IL, si bien que PJPI'Pc = (IL/rp'f,
et l'on obtient finalement la relation fondamentale (Nottale, 1993) :
IL/rp = (r 0 /rp) 3
On reconnaît ici une des « relations des grands nombres » d'Eddington-Dirac, qui relie une échelle cosmique à l'échelle de Planck et à
une échelle intermédiaire de physique des particules. Mais alors que la
relation de Dirac était empirique, celle-ci est ici démontrée (en particulier
la puissance 3), et surtout, alors que dans cette relation empirique c'était
l'échelle dépendant du temps c/H qui avait été prise pour caractériser
les très grandes échelles cosmologiques (suscitant ainsi des théories à
variation des constantes, aujourd'hui invalidées, pour conserver malgré
tout cette relation), c'est ici l'échelle invariante IL donnée par la constante
cosmologique qui joue ce rôle. Dans cette nouvelle forme de relation des
grands nombres, toutes les échelles sont invariantes au cours du temps,
et aucune variation des constantes n'est plus nécessaire.
Reste à connaître la valeur de l'échelle de transition r 0 pour en déduire
la valeur de IL= r 0
3 /rl et donc de la constante cosmologique A= l/JL2. On
s'attend déjà à ce que ce soit une échelle typique de particule élémentaire,
mais seules des conjonctures peuvent être faites pour le moment sur
sa valeur précise. Celle qui a été proposée initialement (Nottale, 1993,
chap. 7.1) et qui reste la plus probable est que cette échelle de transition
soit donnée par le « rayon classique » de l'électron re. En dépit de son
nom, le sens physique de cette échelle n'a rien de classique, puisque
l'aire cre = 1t r/ est, en mécanique quantique, la section efficace de collision entre électrons ou entre électrons et positrons à la limite d'énergie
cinétique nulle. Autrement dit, re n'est rien d'autre que le rayon d'un
électron au repos tel qu'il est « vu » par un autre électron.
Or une des premières descriptions du vide quantique est celle,
proposée par Dirac, d'une « mer » d'électrons d'énergies négatives qui
rempliraient tous les états possibles : de cette manière, tout saut d'énergie d'un de ces électrons vers des valeurs positives fait apparaître un
« trou » dans la mer de Dirac qui sera interprété comme un positron.
Si l'on soumet maintenant un tel « vide » quantique à l'expansion de
l'Univers au cours de ses premiers instants, il est concevable que ces
électrons du vide soient également appelés à remplir le vide du point de
vue spatial, ce qui exclurait que leur interdis tance dépasse 2r e' (contrairement aux autres « objets » dont les électrons d'énergie positive qui