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1" partie : La théorie de la relativité d'échelle ...
Cependant, l'énergie elle-même intervient en général uniquement par
ses différences : c'est le cas de l'énergie potentielle, dont seul le gradient
est observable sous forme de champ. Ainsi on s'attend en fait à ce qu'une
telle densité d'énergie constante qui remplirait tout l'Univers ne soit pas
observable (en tant qu'énergie du vide, donc état d'énergie minimale,
elle servirait de point zéro) et puisse toujours être renormalisée 1 •
Par contre si l'on considère les fluctuations d'énergie du vide, la situation est différente. Dans ce cas ce sont bien des différences d'énergie
qui interviennent et non pas l'énergie elle-même. De plus alors que la
moyenne de l'énergie peut toujours être renormalisée comme on
l'a vu, l'énergie gravitationnelle de ces fluctuations est proportionnelle
à, quantité qui, elle, ne peut être annulée, du fait de la relation de
Heisenberg de mécanique quantique. La densité de self-énergie gravitationnelle des fluctuations est donc donnée par (1/r 3 )(G/c 2 )/r, et
comme est proportionnel à l/r 2 d'après la relation d'Heisenberg,
elle varie finalement comme l/r6.
On considère alors que la constante cosmologique effective provient
de deux sources : d'une part, l'énergie gravitationnelle des fluctuations
du vide quantique dont la contribution décroît très rapidement lorsque
l'échelle croît, et d'autre part, un terme constant de nature géométrique
dont le sens profond est d'être l'inverse du carré d'une longueur cosmique invariante IL, de la nature d'un horizon.
Il est remarquable que le résultat obtenu en faisant cette somme est
précisément solution d'une équation différentielle d'échelle du premier
ordre du type dp/d ln r =a+ b p (voir chap. 4). Cette solution s'écrit pour
la variation de la densité d'énergie en fonction de l'échelle :
p = Pc [1 + (r ofr) 6 ]
On constate que pour r >> r 0' on obtient la solution cosmologique Pc,
mais aussi que la contribution du vide quantique dépendante d'échelle
atteint cette valeur précisément quand l'échelle r atteint l'échelle de
transition r 0 entre les deux régimes. Cette transition doit avoir eu lieu
dans la phase de rayonnement de l'Univers primordial (« Big Bang »),
car les données d'observations indiquent que la valeur actuelle de la
constante cosmologique est établie depuis les premiers instants. L'échelle
de transition r 0 doit donc être dans la gamme de la physique des particules. De plus, la densité d'énergie doit atteindre celle de Planck Pn> à
l'échelle de Planck rlP' si bien qu'on obtient la relation:
plP'= Pc (rofrlP')6
1. C'est-à-dire qu'on soustrait cette contribution à l'énergie, qui, de ce fait, n'aurait pas
d'effet gravitationnel.
1" partie : La théorie de la relativité d'échelle ...
Cependant, l'énergie elle-même intervient en général uniquement par
ses différences : c'est le cas de l'énergie potentielle, dont seul le gradient
est observable sous forme de champ. Ainsi on s'attend en fait à ce qu'une
telle densité d'énergie constante qui remplirait tout l'Univers ne soit pas
observable (en tant qu'énergie du vide, donc état d'énergie minimale,
elle servirait de point zéro) et puisse toujours être renormalisée 1 •
Par contre si l'on considère les fluctuations d'énergie du vide, la situation est différente. Dans ce cas ce sont bien des différences d'énergie
qui interviennent et non pas l'énergie elle-même. De plus alors que la
moyenne de l'énergie
l'a vu, l'énergie gravitationnelle de ces fluctuations est proportionnelle
à
Heisenberg de mécanique quantique. La densité de self-énergie gravitationnelle des fluctuations est donc donnée par (1/r 3 )(G/c 2 )
comme
elle varie finalement comme l/r6.
On considère alors que la constante cosmologique effective provient
de deux sources : d'une part, l'énergie gravitationnelle des fluctuations
du vide quantique dont la contribution décroît très rapidement lorsque
l'échelle croît, et d'autre part, un terme constant de nature géométrique
dont le sens profond est d'être l'inverse du carré d'une longueur cosmique invariante IL, de la nature d'un horizon.
Il est remarquable que le résultat obtenu en faisant cette somme est
précisément solution d'une équation différentielle d'échelle du premier
ordre du type dp/d ln r =a+ b p (voir chap. 4). Cette solution s'écrit pour
la variation de la densité d'énergie en fonction de l'échelle :
p = Pc [1 + (r ofr) 6 ]
On constate que pour r >> r 0' on obtient la solution cosmologique Pc,
mais aussi que la contribution du vide quantique dépendante d'échelle
atteint cette valeur précisément quand l'échelle r atteint l'échelle de
transition r 0 entre les deux régimes. Cette transition doit avoir eu lieu
dans la phase de rayonnement de l'Univers primordial (« Big Bang »),
car les données d'observations indiquent que la valeur actuelle de la
constante cosmologique est établie depuis les premiers instants. L'échelle
de transition r 0 doit donc être dans la gamme de la physique des particules. De plus, la densité d'énergie doit atteindre celle de Planck Pn> à
l'échelle de Planck rlP' si bien qu'on obtient la relation:
plP'= Pc (rofrlP')6
1. C'est-à-dire qu'on soustrait cette contribution à l'énergie, qui, de ce fait, n'aurait pas
d'effet gravitationnel.