4.4. La théorie de la relativité d'échelle
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électrons. Une telle quantité fondamentalement non locale (comme l'est
le réseau de géodésiques lui-même) caractérise bien le système dans son
ensemble, sans être localisée ni pouvoir être attribuée à l'un ou l'autre
électron séparément. À la suite d'une mesure du spin d'un des électrons
(par un aimant de Stern et Gerlach), il y a sélection d'un sous-ensemble
des géodésiques caractérisé par une valeur précise du spin, par exemple
s 1 = 1/2 (qui ne préexistait donc pas à la mesure). Sachant que toutes les
géodésiques sont telles que s 1 + s 2 = 0, le sous-ensemble résiduel trié par
la mesure possède bien cette propriété et le deuxième électron a donc
automatiquement et immédiatement un spin s 2 = -1/2. Aucun transport
d'information éventuellement plus rapide que la lumière n'est nécessaire
pour cela : la fonction d'onde est, dans ce cadre, une représentation du
champ de vitesse des géodésiques virtuelles (Eq. 44), et la « réduction
du paquet d'onde » est une simple réduction de leur ensemble, soit par
l'effet d'une mesure effective qui en sélectionne un sous-ensemble, soit
de manière encore plus simple par une connaissance acquise sur le
système (Nottale, 2009a, b).
Application à une nouvelle mécanique
macroscopique de type quantique
Mais une autre application du formalisme peut être faite aux échelles
macroscopiques, avec une autre interprétation. En effet, les trois conditions principales issues de la non-différentiabilité qui transforment
l'équation des géodésiques en une équation de forme Schrôdinger
(pour une fonction 'JI telle que P = 1 'JI 1 2 ) peuvent aussi être réalisées,
au moins comme approximations, dans d'autres contextes (chaos, turbulence, mouvement dans un milieu fractal, application au système de
potentiels quantiques naturels ou artificiels, etc.). Dès lors qu'il existe
un très grand nombre de trajectoires potentielles de dimension fractale
2, sur une gamme d'échelles suffisante pour que cette dimension soit
bien définie (au moins 10 4 ou 10 5 ), une irréversibilité « microscopique »
(pour les éléments temporels petits devant l'échelle temporelle du système), et une dynamique newtonienne (ou l'action d'une force produit
une accélération), l'équation de la dynamique peut s'intégrer sous forme
d'une équation de Schrôdinger. La non-différentiabilité n'est alors qu'une
approximation valable sur une certaine gamme d'échelles (elle se traduit par une dépendance d'échelle explicite pour ces échelles). De plus,
cette situation est à nouveau celle de particules ou de corps suivant des
trajectoires, si bien que les aspects les plus profonds de la mécanique
quantique standard (indiscernabilité, intrication, paradoxe EPR, principe
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électrons. Une telle quantité fondamentalement non locale (comme l'est
le réseau de géodésiques lui-même) caractérise bien le système dans son
ensemble, sans être localisée ni pouvoir être attribuée à l'un ou l'autre
électron séparément. À la suite d'une mesure du spin d'un des électrons
(par un aimant de Stern et Gerlach), il y a sélection d'un sous-ensemble
des géodésiques caractérisé par une valeur précise du spin, par exemple
s 1 = 1/2 (qui ne préexistait donc pas à la mesure). Sachant que toutes les
géodésiques sont telles que s 1 + s 2 = 0, le sous-ensemble résiduel trié par
la mesure possède bien cette propriété et le deuxième électron a donc
automatiquement et immédiatement un spin s 2 = -1/2. Aucun transport
d'information éventuellement plus rapide que la lumière n'est nécessaire
pour cela : la fonction d'onde est, dans ce cadre, une représentation du
champ de vitesse des géodésiques virtuelles (Eq. 44), et la « réduction
du paquet d'onde » est une simple réduction de leur ensemble, soit par
l'effet d'une mesure effective qui en sélectionne un sous-ensemble, soit
de manière encore plus simple par une connaissance acquise sur le
système (Nottale, 2009a, b).
Application à une nouvelle mécanique
macroscopique de type quantique
Mais une autre application du formalisme peut être faite aux échelles
macroscopiques, avec une autre interprétation. En effet, les trois conditions principales issues de la non-différentiabilité qui transforment
l'équation des géodésiques en une équation de forme Schrôdinger
(pour une fonction 'JI telle que P = 1 'JI 1 2 ) peuvent aussi être réalisées,
au moins comme approximations, dans d'autres contextes (chaos, turbulence, mouvement dans un milieu fractal, application au système de
potentiels quantiques naturels ou artificiels, etc.). Dès lors qu'il existe
un très grand nombre de trajectoires potentielles de dimension fractale
2, sur une gamme d'échelles suffisante pour que cette dimension soit
bien définie (au moins 10 4 ou 10 5 ), une irréversibilité « microscopique »
(pour les éléments temporels petits devant l'échelle temporelle du système), et une dynamique newtonienne (ou l'action d'une force produit
une accélération), l'équation de la dynamique peut s'intégrer sous forme
d'une équation de Schrôdinger. La non-différentiabilité n'est alors qu'une
approximation valable sur une certaine gamme d'échelles (elle se traduit par une dépendance d'échelle explicite pour ces échelles). De plus,
cette situation est à nouveau celle de particules ou de corps suivant des
trajectoires, si bien que les aspects les plus profonds de la mécanique
quantique standard (indiscernabilité, intrication, paradoxe EPR, principe