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4' partie : La théorie de la relativité d'échelle :formalisme mathématique
Application à la mécanique quantique standard
Dans l'application du formalisme à la mécanique quantique en microphysique (physique moléculaire, atomique, nucléaire et des particules),
on considère que la non-différentiabilité de l'espace-temps est effective
de manière exacte vers les petites échelles : en effet, toute existence d'un
niveau subquantique où la différentiabilité réapparaîtrait impliquerait
l'existence de paramètres cachés, ce qui est exclu par l'invalidation des
inégalités de Bell dans les expériences de type Einstein-Podolski-Rosen
(EPR, voir ci-dessous).
De plus, on y identifie l'« onde-particule » avec les géodésiques ellesmêmes (qui sont toujours en nombre infini) sans qu'il soit nécessaire
d'introduire une « particule » qui possèderait de manière intrinsèque
une masse, une charge ou un spin, et suivrait une « trajectoire », car
ces diverses quantités physiques peuvent se construire à partir de la
géométrie même des géodésiques. Une mesure se ramène alors, dans
un grand nombre de cas, à une sélection de certaines des géodésiques
parmi un ensemble plus vaste (celle dont les propriétés géométriques
correspondent aux grandeurs mesurées) : le postulat de von Neumann,
suivant lequel juste après une mesure les système se trouve dans l'état
donné par la mesure, s'en déduit simplement. Des phénomènes typiquement quantiques, tels que l'indiscernabilité de particules identiques
se comprennent également aisément dans un tel cadre de description :
comme il s'agit d'un ensemble de pures lignes géométriques, rien ne
peut venir les distinguer. Il existe donc un ensemble de géodésiques
représentant, par exemple, deux électrons, sans qu'on puisse attribuer
une géodésique fractale donnée à l'un ou l'autre électron.
Le formalisme relativiste d'échelle rend compte également de l'intrication quantique, dans laquelle un système peut être décrit par un
mélange de propriétés sans qu'aucune des propriétés individuelles ne
soient définies. En effet, seules des propriétés géométriques communes
à l'ensemble des géodésiques permettent d'attribuer à la « particule »
une masse, un spin ou d'autres caractères bien définis, alors que dans
la plupart des cas, on peut envisager des ensembles de géodésiques aux
propriétés géométriques extrêmement complexes pour lesquelles seules
existent des probabilités des valeurs de ces propriétés. Par exemple, dans
une expérience EPR typique, on émet simultanément deux électrons dont
les spins sont tels que s 1 + s 2 = 0, sans que ni s 1 ni s 2 n'aient de valeur
déterminée. Le spin total est une quantité conservative (un moment
angulaire propre) qui caractérise, dans la représentation géométrique
de la relativité d'échelle, l'ensemble des géodésiques décrivant les deux
4' partie : La théorie de la relativité d'échelle :formalisme mathématique
Application à la mécanique quantique standard
Dans l'application du formalisme à la mécanique quantique en microphysique (physique moléculaire, atomique, nucléaire et des particules),
on considère que la non-différentiabilité de l'espace-temps est effective
de manière exacte vers les petites échelles : en effet, toute existence d'un
niveau subquantique où la différentiabilité réapparaîtrait impliquerait
l'existence de paramètres cachés, ce qui est exclu par l'invalidation des
inégalités de Bell dans les expériences de type Einstein-Podolski-Rosen
(EPR, voir ci-dessous).
De plus, on y identifie l'« onde-particule » avec les géodésiques ellesmêmes (qui sont toujours en nombre infini) sans qu'il soit nécessaire
d'introduire une « particule » qui possèderait de manière intrinsèque
une masse, une charge ou un spin, et suivrait une « trajectoire », car
ces diverses quantités physiques peuvent se construire à partir de la
géométrie même des géodésiques. Une mesure se ramène alors, dans
un grand nombre de cas, à une sélection de certaines des géodésiques
parmi un ensemble plus vaste (celle dont les propriétés géométriques
correspondent aux grandeurs mesurées) : le postulat de von Neumann,
suivant lequel juste après une mesure les système se trouve dans l'état
donné par la mesure, s'en déduit simplement. Des phénomènes typiquement quantiques, tels que l'indiscernabilité de particules identiques
se comprennent également aisément dans un tel cadre de description :
comme il s'agit d'un ensemble de pures lignes géométriques, rien ne
peut venir les distinguer. Il existe donc un ensemble de géodésiques
représentant, par exemple, deux électrons, sans qu'on puisse attribuer
une géodésique fractale donnée à l'un ou l'autre électron.
Le formalisme relativiste d'échelle rend compte également de l'intrication quantique, dans laquelle un système peut être décrit par un
mélange de propriétés sans qu'aucune des propriétés individuelles ne
soient définies. En effet, seules des propriétés géométriques communes
à l'ensemble des géodésiques permettent d'attribuer à la « particule »
une masse, un spin ou d'autres caractères bien définis, alors que dans
la plupart des cas, on peut envisager des ensembles de géodésiques aux
propriétés géométriques extrêmement complexes pour lesquelles seules
existent des probabilités des valeurs de ces propriétés. Par exemple, dans
une expérience EPR typique, on émet simultanément deux électrons dont
les spins sont tels que s 1 + s 2 = 0, sans que ni s 1 ni s 2 n'aient de valeur
déterminée. Le spin total est une quantité conservative (un moment
angulaire propre) qui caractérise, dans la représentation géométrique
de la relativité d'échelle, l'ensemble des géodésiques décrivant les deux