4.4. La théorie de la relativité d'échelle
385
Plus généralement, on peut reprendre le déroulement de la construction de la mécanique lagrangienne avec ce nouvel outil : on obtient des
équations d'Euler-Lagrange complexes dont l'équation (42) est un cas
particulier. Par ailleurs, le caractère complexe de la vitesse v implique
celui de la fonction de Lagrange, donc de l'action S.
Une fonction d'onde \jf s'introduit alors très simplement comme une
ré-expression de cette action complexe :
\jf = eiS/ 2m'D .
(43)
Elle est donc reliée à la vitesse complexe, comme suit :
v = -2 i 'D V ln\jf .
(44)
Nous pouvons maintenant changer d'outil de description et écrire
l'équation de Newton ci-dessus (Eq. 42) en fonction de cette fonction
d'onde:
2i m 'D d{V ln\jf)/dt = V (45)
Après quelques calculs, cette équation s'intègre sous forme d'une
équation de Schrodinger (Nottale, 1993) :
1)2 ô"' + i 'Da"' ;at- ( (46)
On retrouve l'équation de la mécanique quantique standard pour le
cas particulier 'D = li/2m. En posant P = 1' 1' 1 2 , on trouve que la partie
imaginaire de cette équation est une équation de continuité pour le
champ de vitesse stet V, (identifié précédemment comme vitesse classique à la limite classique),
aP ;at+ div(P V)= o,
(47)
et que sa partie réelle est une équation d'Euler,
(a ;at+ v. v ) v= -v <
ce qui justifie l'interprétation de P comme une densité (ici, de probabilité, postulat de Born). Dans cette dernière équation, il apparaît,
comme manifestation de la géométrie fractale, un terme de potentiel
« quantique » supplémentaire, qui dépend uniquement de la densité
de probabilité :
Q = -2 m 1)2 (ô~PI~P).
(48)
Les divers postulats de la mécanique quantique standard, en plus
de l'obtention, présentée ici de manière succinte, de la fonction d'onde
et de son caractère complexe, du postulat de Born et de l'équation de
Schrodinger, peuvent également être dérivés dans ce cadre (Nottale
et Célérier, 2007), ainsi que les équations de Klein-Gordon, Pauli et
Dirac (Célérier et Nottale, 2004, 2006).
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Plus généralement, on peut reprendre le déroulement de la construction de la mécanique lagrangienne avec ce nouvel outil : on obtient des
équations d'Euler-Lagrange complexes dont l'équation (42) est un cas
particulier. Par ailleurs, le caractère complexe de la vitesse v implique
celui de la fonction de Lagrange, donc de l'action S.
Une fonction d'onde \jf s'introduit alors très simplement comme une
ré-expression de cette action complexe :
\jf = eiS/ 2m'D .
(43)
Elle est donc reliée à la vitesse complexe, comme suit :
v = -2 i 'D V ln\jf .
(44)
Nous pouvons maintenant changer d'outil de description et écrire
l'équation de Newton ci-dessus (Eq. 42) en fonction de cette fonction
d'onde:
2i m 'D d{V ln\jf)/dt = V (45)
Après quelques calculs, cette équation s'intègre sous forme d'une
équation de Schrodinger (Nottale, 1993) :
1)2 ô"' + i 'Da"' ;at- ( (46)
On retrouve l'équation de la mécanique quantique standard pour le
cas particulier 'D = li/2m. En posant P = 1' 1' 1 2 , on trouve que la partie
imaginaire de cette équation est une équation de continuité pour le
champ de vitesse stet V, (identifié précédemment comme vitesse classique à la limite classique),
aP ;at+ div(P V)= o,
(47)
et que sa partie réelle est une équation d'Euler,
(a ;at+ v. v ) v= -v <
ce qui justifie l'interprétation de P comme une densité (ici, de probabilité, postulat de Born). Dans cette dernière équation, il apparaît,
comme manifestation de la géométrie fractale, un terme de potentiel
« quantique » supplémentaire, qui dépend uniquement de la densité
de probabilité :
Q = -2 m 1)2 (ô~PI~P).
(48)
Les divers postulats de la mécanique quantique standard, en plus
de l'obtention, présentée ici de manière succinte, de la fonction d'onde
et de son caractère complexe, du postulat de Born et de l'équation de
Schrodinger, peuvent également être dérivés dans ce cadre (Nottale
et Célérier, 2007), ainsi que les équations de Klein-Gordon, Pauli et
Dirac (Célérier et Nottale, 2004, 2006).