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4' partie : La théorie de la relativité d'échelle :formalisme mathématique
On définit un opérateur complexe de dérivation par rapport au temps
(qui porte sur les quantités macroscopiques indépendantes d'échelle,
donc dérivables au sens ordinaire),
d/dt = (d+ + dJ/2dt- i (d+- dJ/2dt,
(37)
puis une vitesse moyenne complexe qui résulte de l'action de cet opérateur sur la variable de position :
vi= cfxijdt = Vi-i Ui =(vi++ vij/2- i (vi+- vij/2.
(38)
Ainsi, à la limite classique où vi+= vi_, la partie réelle de cette vitesse
complexe s'identifie à la vitesse classique tandis que la partie imaginaire
disparaît.
Après avoir défini les lois des déplacements élémentaires dans un tel
processus fractal et localement irréversible, les effets de ces déplacements
sur d'autres grandeurs physiques doivent être analysés. Considérons
une fonction f(X(t),t). Sa dérivée totale par rapport au temps s'écrit :
df/dt = auat +V f. dX/dt + (1/2) (a 2 f/dXidX) dXidXi /dt
(39)
On peut alors calculer les dérivées « avant » et « arrière » de f. Dans
ce calcul, la valeur moyenne de dX/dt devient d±x/dt =v±, tandis que
se réduit à , si bien que le dernier terme de l'Eq. (39)
se transforme en un Laplacien du fait de l'Eq. (36). On obtient alors :
d.J /dt = (o/ot + v± .v ± rr> ~) f.
(40)
En combinant enfin ces deux dérivées, on obtient l'expression de
l'opérateur complexe de dérivation par rapport au temps :
cf! dt = a;at + v . v - i v~ .
(41)
Il contient deux termes imaginaires supplémentaires, -i U .V
et - i 'D ~' en plus de l'opérateur de dérivation totale ordinaire,
d/dt = a;at + v .v.
Léquation fondamentale de la dynamique peut alors être réécrite en
utilisant cet opérateur de dérivation comme une « dérivée covariante »
(au sens où elle préserve la forme de cette équation dans la nouvelle
situation de fractalité et de non-différentiabilité) : les nouveaux effets
considérés seront automatiquement pris en compte. On obtient l'équation tridimensionnelle
m~M=~.
~
où potentiel extérieur (et plus généralement où ce potentiel peut lui-même
être décrit de façon géométrique à l'aide d'une dérivée covariante,
comme pour la gravitation en relativité générale et les champs de jauge
en relativité d'échelle), cette équation, via le principe de covariance
forte, se ramène à une équation des géodésiques, ayant la même forme
que l'équation du mouvement inertiel dans le vide, dépourvu de toute
force, rn dv /dt= O.
4' partie : La théorie de la relativité d'échelle :formalisme mathématique
On définit un opérateur complexe de dérivation par rapport au temps
(qui porte sur les quantités macroscopiques indépendantes d'échelle,
donc dérivables au sens ordinaire),
d/dt = (d+ + dJ/2dt- i (d+- dJ/2dt,
(37)
puis une vitesse moyenne complexe qui résulte de l'action de cet opérateur sur la variable de position :
vi= cfxijdt = Vi-i Ui =(vi++ vij/2- i (vi+- vij/2.
(38)
Ainsi, à la limite classique où vi+= vi_, la partie réelle de cette vitesse
complexe s'identifie à la vitesse classique tandis que la partie imaginaire
disparaît.
Après avoir défini les lois des déplacements élémentaires dans un tel
processus fractal et localement irréversible, les effets de ces déplacements
sur d'autres grandeurs physiques doivent être analysés. Considérons
une fonction f(X(t),t). Sa dérivée totale par rapport au temps s'écrit :
df/dt = auat +V f. dX/dt + (1/2) (a 2 f/dXidX) dXidXi /dt
(39)
On peut alors calculer les dérivées « avant » et « arrière » de f. Dans
ce calcul, la valeur moyenne de dX/dt devient d±x/dt =v±, tandis que
se transforme en un Laplacien du fait de l'Eq. (36). On obtient alors :
d.J /dt = (o/ot + v± .v ± rr> ~) f.
(40)
En combinant enfin ces deux dérivées, on obtient l'expression de
l'opérateur complexe de dérivation par rapport au temps :
cf! dt = a;at + v . v - i v~ .
(41)
Il contient deux termes imaginaires supplémentaires, -i U .V
et - i 'D ~' en plus de l'opérateur de dérivation totale ordinaire,
d/dt = a;at + v .v.
Léquation fondamentale de la dynamique peut alors être réécrite en
utilisant cet opérateur de dérivation comme une « dérivée covariante »
(au sens où elle préserve la forme de cette équation dans la nouvelle
situation de fractalité et de non-différentiabilité) : les nouveaux effets
considérés seront automatiquement pris en compte. On obtient l'équation tridimensionnelle
m~M=~.
~
où potentiel extérieur (et plus généralement où ce potentiel peut lui-même
être décrit de façon géométrique à l'aide d'une dérivée covariante,
comme pour la gravitation en relativité générale et les champs de jauge
en relativité d'échelle), cette équation, via le principe de covariance
forte, se ramène à une équation des géodésiques, ayant la même forme
que l'équation du mouvement inertiel dans le vide, dépourvu de toute
force, rn dv /dt= O.