4.4. La théorie de la relativité d'échelle
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La troisième condition (3) a pour conséquence, comme nous l'avons
vu, un dédoublement des vitesses, donc ici du champ de vitesse fractal.
Celui-ci, définie par V = dX/dt = v+ d'f/dt, se décompose donc, aussi bien
en ce qui concerne V+ que VJ en une « partie différentiable » v ±[x(t), t]
non fractale (donc dérivable au sens ordinaire) et une « partie fractale »
non différentiable divergente df,/dt = W±[X(t,dt),t,dt], nulle en moyenne.
Sachant que la source de ce dédoublement se trouve au niveau de l'espace,
et non seulement des chemins, il s'applique également au niveau des
champs de vitesse moyens. On est ainsi amené à introduire un double
processus tridimensionnel, (on rétablit les indices i = 1 à 3 pour les trois
coordonnées spatiales x, y et z)
~=~+~
~
dans lequel la partie différentiable dx±i = v±i dt, la moyenne de la partie
fractale fluctuante est de moyenne nulle (par construction), = 0
et = ± 2 V 8ii dt 2 - 2 10p.
(35)
Les relations (34, 35) sont simplement une ré-expression différentielle
tridimensionnelle de la loi d'échelle obtenue comme solution de la plus
simple des équations différentielles d'échelle du premier ordre (Eq. 5).
Ici Bii représente le symbole de Kronecker qui vaut 1 quand les indices
sont égaux et 0 autrement. DF est la dimension fractale des chemins
considérés et V est un paramètre d'échelle fondamental qui caractérise
leur comportement fractal, en l'occurrence, l'amplitude des fluctuations.
Ce paramètre détermine également la transition essentielle qui apparait
dans un tel processus entre le comportement fractal à petite échelle (où
les fluctuations dominent) et non fractal à grande échelle (où le mouvement classique moyen redevient dominant). Dans le cas particulier
où la dimension fractale est DF = 2 (qui joue dans cette approche le rôle
critique d'une valeur pour laquelle la dépendance d'échelle n'est plus
explicite dans les équations obtenues finalement), la relation précédente
devient:
= ± 2 v 8ii dt.
(36)
Nous nous concentrerons dans la suite sur ce cas, qui correspond à
l'absence de corrélation et d'anti-corrélation entre événements (processus
markovien). La non-différentiabilité est ici apparente, la vitesse quadratique de ces fluctuations étant = 2 V/dt, qui tend vers l'infini
formellement quand dt tend vers zéro.
Une représentation naturelle du dédoublement de variables dû à l'irréversibilité de niveau infinitésimal consiste en l'utilisation de nombres
complexes (on peut démontrer que ce choix est « covariant», au sens où
il préserve la forme des équations).