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4' partie: La théorie de la relativité d'échelle: formalisme mathématique
les chemins peuvent être définis précisément comme géodésiques
de cet espace.
2. Chacun de ces chemins est une courbe fractale. La dimension
Dp = 2, qui correspond à une perte complète d'information sur les
déplacements élémentaires et à l'absence de corrélation ou d'anticorrélation, joue ici un rôle particulier: c'est pour cette dimension
qu'on retrouve la mécanique quantique standard, mais il est possible
d'obtenir des généralisations pour d'autres valeurs de la dimension
fractale (Nottale, 1996a). Dans le cas d'un espace et de ses géodésiques, le caractère fractal de l'espace implique directement celui de
ses géodésiques.
3. Il y a irréversibilité au niveau infinitésimal, c'est-à-dire non-invariance dans la réflexion sur l'élément différentiel de temps dt -7 -dt. Là
encore, cette condition est une conséquence immédiate de l'abandon
de l'hypothèse de différentiabilité. En effet, rappelons que l'un des
outils fondamentaux qui nous permettent de gérer la non-différentiabilité consiste en la réinterprétation des éléments différentiels comme
variables. Ainsi la coordonnée dans l'espace devient une fonction
fractale X(t, dt), et sa vitesse, bien que n'existant plus à la limite dt -7 0,
se définit maintenant aussi comme fonction fractale (explicitement
dépendante de dt). Mais la nouveauté est qu'il y a deux définitions
au lieu d'une (qui se transforment l'une dans l'autre par la réflexion
dt H -dt), et donc que le concept de vitesse se dédouble :
V+(t, dt)= { [X(t+dt, dt)- X(t, dt)]/dt LHO
(32)
V_(t, dt) = { [X(t, dt) - X(t-dt, dt)]/dt Lt ~ 0
(33)
La première condition (1) conduit à adopter une description de
type « fluide », où l'on ne considérera plus seulement la vitesse sur un
chemin individuel, mais le champ de vitesse moyen v[x(t), t] de tous les
chemins potentiels.
La deuxième condition (2) ramène aux travaux précédents concernant les lois d'échelle satisfaisant au principe de relativité. Nous avons
vu que, dans le cas le plus simple« galiléen d'échelle», la coordonnée
(solution d'une équation différentielle d'échelle) se décomposait sous
forme d'un terme classique indépendant d'échelle et d'un terme asymptotique fractal. C'est ce même résultat qui va être utilisé ici, après avoir
différentié la coordonnée. Ceci mène à décomposer les déplacements
élémentaires dX = dx + dÇ, sous forme d'une moyenne indépendante
d'échelle, dx = v dt, et d'une fluctuation dÇ,, caractérisée par une loi de
comportement fractale, dÇ, oc dtliDp_ Le champ de vitesse complet devient
alors fractal, c'est-à-dire explicitement fonction de l'élément différentiel
dt, c'est-à-dire V= V[X(t, dt), t, dt].
4' partie: La théorie de la relativité d'échelle: formalisme mathématique
les chemins peuvent être définis précisément comme géodésiques
de cet espace.
2. Chacun de ces chemins est une courbe fractale. La dimension
Dp = 2, qui correspond à une perte complète d'information sur les
déplacements élémentaires et à l'absence de corrélation ou d'anticorrélation, joue ici un rôle particulier: c'est pour cette dimension
qu'on retrouve la mécanique quantique standard, mais il est possible
d'obtenir des généralisations pour d'autres valeurs de la dimension
fractale (Nottale, 1996a). Dans le cas d'un espace et de ses géodésiques, le caractère fractal de l'espace implique directement celui de
ses géodésiques.
3. Il y a irréversibilité au niveau infinitésimal, c'est-à-dire non-invariance dans la réflexion sur l'élément différentiel de temps dt -7 -dt. Là
encore, cette condition est une conséquence immédiate de l'abandon
de l'hypothèse de différentiabilité. En effet, rappelons que l'un des
outils fondamentaux qui nous permettent de gérer la non-différentiabilité consiste en la réinterprétation des éléments différentiels comme
variables. Ainsi la coordonnée dans l'espace devient une fonction
fractale X(t, dt), et sa vitesse, bien que n'existant plus à la limite dt -7 0,
se définit maintenant aussi comme fonction fractale (explicitement
dépendante de dt). Mais la nouveauté est qu'il y a deux définitions
au lieu d'une (qui se transforment l'une dans l'autre par la réflexion
dt H -dt), et donc que le concept de vitesse se dédouble :
V+(t, dt)= { [X(t+dt, dt)- X(t, dt)]/dt LHO
(32)
V_(t, dt) = { [X(t, dt) - X(t-dt, dt)]/dt Lt ~ 0
(33)
La première condition (1) conduit à adopter une description de
type « fluide », où l'on ne considérera plus seulement la vitesse sur un
chemin individuel, mais le champ de vitesse moyen v[x(t), t] de tous les
chemins potentiels.
La deuxième condition (2) ramène aux travaux précédents concernant les lois d'échelle satisfaisant au principe de relativité. Nous avons
vu que, dans le cas le plus simple« galiléen d'échelle», la coordonnée
(solution d'une équation différentielle d'échelle) se décomposait sous
forme d'un terme classique indépendant d'échelle et d'un terme asymptotique fractal. C'est ce même résultat qui va être utilisé ici, après avoir
différentié la coordonnée. Ceci mène à décomposer les déplacements
élémentaires dX = dx + dÇ, sous forme d'une moyenne indépendante
d'échelle, dx = v dt, et d'une fluctuation dÇ,, caractérisée par une loi de
comportement fractale, dÇ, oc dtliDp_ Le champ de vitesse complet devient
alors fractal, c'est-à-dire explicitement fonction de l'élément différentiel
dt, c'est-à-dire V= V[X(t, dt), t, dt].