4.4. La théorie de la relativité d'échelle
Figure 4.23. Dépliage d'une surface fractale
(deuxième niveau d'itération).
Mécanique quantique
381
Comme nous l'avons vu, on est conduit, en relativité d'échelle, à
généraliser une nouvelle fois le concept d'espace-temps et à travailler
dans le cadre d'un espace-temps fractal. On prend alors en compte des
systèmes de coordonnées (et des chemins, en particulier les géodésiques) eux-mêmes fractals, c'est-à-dire possédant une structure interne.
Nous nous sommes concentrés, dans les paragraphes précédents, sur
les descriptions possibles d'une telle structure, qui porte sur l'espace
des échelles. Nous allons maintenant considérer ses effets induits sur
les déplacements dans l'espace ordinaire. La combinaison de ces effets
conduit à l'introduction d'un outil de description du type de celui de
la mécanique quantique. On y abandonne la description classique en
termes de conditions initiales et de trajectoires individuelles déterministes, au bénéfice d'une description statistique en termes d'amplitudes
de probabilité.
Rappelons l'essence de la méthode utilisée dans le cadre de la relativité
d'échelle pour passer d'une dynamique classique à une dynamique de
type quantique (Nottale, 1993 ; Célérier et Nottale, 2004, 2006 ; Nottale
et Célérier, 2007).
Les trois conditions minimales qui permettent de transformer l'équation fondamentale de la dynamique en une équation de Schrodinger
sont les suivantes :
1. Il existe un très grand nombre (à la limite, une infinité) de chemins potentiels; cette condition est une conséquence naturelle de
la non-différentiabilité et de la fractalité de l'espace, dans le cas où
Figure 4.23. Dépliage d'une surface fractale
(deuxième niveau d'itération).
Mécanique quantique
381
Comme nous l'avons vu, on est conduit, en relativité d'échelle, à
généraliser une nouvelle fois le concept d'espace-temps et à travailler
dans le cadre d'un espace-temps fractal. On prend alors en compte des
systèmes de coordonnées (et des chemins, en particulier les géodésiques) eux-mêmes fractals, c'est-à-dire possédant une structure interne.
Nous nous sommes concentrés, dans les paragraphes précédents, sur
les descriptions possibles d'une telle structure, qui porte sur l'espace
des échelles. Nous allons maintenant considérer ses effets induits sur
les déplacements dans l'espace ordinaire. La combinaison de ces effets
conduit à l'introduction d'un outil de description du type de celui de
la mécanique quantique. On y abandonne la description classique en
termes de conditions initiales et de trajectoires individuelles déterministes, au bénéfice d'une description statistique en termes d'amplitudes
de probabilité.
Rappelons l'essence de la méthode utilisée dans le cadre de la relativité
d'échelle pour passer d'une dynamique classique à une dynamique de
type quantique (Nottale, 1993 ; Célérier et Nottale, 2004, 2006 ; Nottale
et Célérier, 2007).
Les trois conditions minimales qui permettent de transformer l'équation fondamentale de la dynamique en une équation de Schrodinger
sont les suivantes :
1. Il existe un très grand nombre (à la limite, une infinité) de chemins potentiels; cette condition est une conséquence naturelle de
la non-différentiabilité et de la fractalité de l'espace, dans le cas où