4.4. La théorie de la relativité d 'échelle
379
qui possèderait alors les propriétés physiques du point zéro tout en
restant finie. Dans le cas macroscopique, on l'identifie à l'échelle de
longueur cosmique donnée par l'inverse de la racine de la constante
cosmologique (Nottale, 1993, 1996a, 2003).
En quoi cette nouvelle loi de dilatation change-t-elle notre vision de
l'espace-temps ? À un certain niveau, elle implique une complication,
en raison de la nécessité d'introduire une cinquième dimension. Ainsi
la métrique d'échelle s'écrit à deux variables :
dcr 2 = dt 2 - (dlnL)2/C 0
2 , avec C 0 = ln(À/A).
(31)
I.:invariant da définit un « djinn propre », ce qui signifie que, bien
que la dimension fractale effective soit devenue variable, la dimension
fractale dans le repère propre (« entraîné » avec le système considéré
du point de vue de l'état d'échelle) est restée constante.
Mais on peut également remarquer que la dimension fractale tend
maintenant vers l'infini quand l'intervalle de résolution tend vers l'échelle
de Planck. En allant à des échelles de plus en plus petites, la dimension fractale passera donc successivement par les valeurs 2, 3, 4, ce qui
permettrait de couvrir une surface, puis l'espace, puis l'espace-temps à
l'aide d'une unique coordonnée. Il est donc possible de définir un espacetemps-djinn minkowskien nécessitant, dans des repères fractals adéquats,
seulement deux dimensions topologiques aux très petites échelles. Inversement, en allant vers les grandes échelles relatives à partir de l'échelle
de Planck, l'espace-temps-djinn voit sa cinquième dimension varier
de moins en moins vite pour devenir presque constante aux échelles
actuellement accessible par les accélérateurs, et finalement s'évanouir
au-delà de l'échelle de Compton du système considéré, qui s'identifie à
la transition fractal-non fractal dans le référentiel de repos.
variation de la dimension fractale
variation de la longueur
100 ........ - - - - - - - . . . ; . . _ - - . , . - - - ,
"'
"0
"
0
: ~
"
~
1 .,
Q) 4 «i
o ·c
~ 3 Ë
c:
0
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~ 40 ~
~
-5 ···---.•.
c:
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l5 ~
fraC! al
a:s 20 q)
... .. .. .. ..
.8'
independant
d'echelle
,g 1 . . • •... .••• •. • ••..•• ••• . ••• •
- 30
- 20
-10
0
10
-30
- 20
-10
0
logarithme de la resolution
logarithme de la resolution
Figure 4 .22. Variation de la longueur fractale (figure de gauche) et de la
dimension fractale effective (figure de droite) dans le cas d'une loi d'échelle
log-lorentzienne (relativité d'échelle restreinte)
On a rajouté une transition fractal/non-fractal vers les grandes échelles. La longueur
et la dimension fractale deviennent divergentes en se rapprochant d'une échelle
finie invariante sous les dilatations et contractions, identifiée à l'échelle de Planck
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qui possèderait alors les propriétés physiques du point zéro tout en
restant finie. Dans le cas macroscopique, on l'identifie à l'échelle de
longueur cosmique donnée par l'inverse de la racine de la constante
cosmologique (Nottale, 1993, 1996a, 2003).
En quoi cette nouvelle loi de dilatation change-t-elle notre vision de
l'espace-temps ? À un certain niveau, elle implique une complication,
en raison de la nécessité d'introduire une cinquième dimension. Ainsi
la métrique d'échelle s'écrit à deux variables :
dcr 2 = dt 2 - (dlnL)2/C 0
2 , avec C 0 = ln(À/A).
(31)
I.:invariant da définit un « djinn propre », ce qui signifie que, bien
que la dimension fractale effective soit devenue variable, la dimension
fractale dans le repère propre (« entraîné » avec le système considéré
du point de vue de l'état d'échelle) est restée constante.
Mais on peut également remarquer que la dimension fractale tend
maintenant vers l'infini quand l'intervalle de résolution tend vers l'échelle
de Planck. En allant à des échelles de plus en plus petites, la dimension fractale passera donc successivement par les valeurs 2, 3, 4, ce qui
permettrait de couvrir une surface, puis l'espace, puis l'espace-temps à
l'aide d'une unique coordonnée. Il est donc possible de définir un espacetemps-djinn minkowskien nécessitant, dans des repères fractals adéquats,
seulement deux dimensions topologiques aux très petites échelles. Inversement, en allant vers les grandes échelles relatives à partir de l'échelle
de Planck, l'espace-temps-djinn voit sa cinquième dimension varier
de moins en moins vite pour devenir presque constante aux échelles
actuellement accessible par les accélérateurs, et finalement s'évanouir
au-delà de l'échelle de Compton du système considéré, qui s'identifie à
la transition fractal-non fractal dans le référentiel de repos.
variation de la dimension fractale
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100 ........ - - - - - - - . . . ; . . _ - - . , . - - - ,
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Figure 4 .22. Variation de la longueur fractale (figure de gauche) et de la
dimension fractale effective (figure de droite) dans le cas d'une loi d'échelle
log-lorentzienne (relativité d'échelle restreinte)
On a rajouté une transition fractal/non-fractal vers les grandes échelles. La longueur
et la dimension fractale deviennent divergentes en se rapprochant d'une échelle
finie invariante sous les dilatations et contractions, identifiée à l'échelle de Planck