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4' partie : La théorie de la relativité d'échelle :formalisme mathématique
ques: dans le cas du mouvement, parce qu'elle permettrait une rotation
complète dans l'espace-temps, donc des retours arrière temporels qui
poseraient des problèmes fondamentaux de causalité ; dans le cas des
échelles, parce que le produit de deux contractions pourrait être une
dilatation, ce qu'on peut également exclure.
Désignons par L dans ce qui suit la partie asymptotique de la coordonnée fractale, qui correspond à une différence du type L-L 0 dans ce
qui précède (remplacer ensuite L par L-L 0 permet de prendre en compte
automatiquement la transition fractal-non fractal À). La nouvelle transformation d'échelle log-lorentzienne s'écrit, en fonction du rapport de
dilatation p entre échelles de résolutions E ~ e' (fig. 4.22) :
ln(L'lL 0 ) = [ln{L/L 0 ) + 't lnp] 1 [1 -ln 2 p 1 ln 2 (Â/A)]11 2
(28)
't'= [ 't + lnp ln{L/L 0 )/ln 2 (Â/A)] 1 [1 -ln 2 p 1 ln 2 (N'A)]ll 2
(29)
La loi de composition des dilatations prend la forme :
ln(E/'À) = [ ln(f/À) + lnp] 1 [1 + lnp ln(f/À)/ln 2 (Â/A)] .
(30)
Précisons que ces lois ne sont valables qu'en deçà de l'échelle de transition À (resp. au-delà de cette échelle de transition dans l'application
de cette loi vers les très grandes échelles), ce qui apparaît clairement
en remplaçant L par L-L 0 comme spécifié plus haut pour inclure la
transition).
Comme on peut le constater sur ces formules, l'échelle A est une
échelle de résolution qui montre des propriétés étonnantes. Quelle que
soit l'échelle de référence À choisie, si l'on part de l'échelle E =A et qu'on
lui applique une dilatation ou une contraction quelconque, on retrouve
après cette transformation d'échelle- aussi grande soit-elle ... la même
échelle A. Autrement dit, la nouvelle transformation introduit naturellement (comme constante d'intégration) une échelle invariante sous les
dilatations, inatteignable (il faudrait une dilatation infinie à partir de
toute échelle finie pour l'atteindre) et indépassable. Une telle échelle
invariante joue donc, pour les lois d'échelles un rôle semblable à celui
joué par la vitesse de la lumière c pour les lois du mouvement : celle-ci
(ou plus précisément la vitesse de n'importe quelle particule de masse
nulle dans le vide) est effectivement définie comme vitesse invariante
sous les changements de vitesse.
Les lois obtenues pouvant s'inverser, deux échelles invariantes et
indépassables (comme des horizons non comme des murs ou des cutoffs) apparaissent donc, l'une vers les petites échelles et l'autre vers les
grandes. Nous avons proposé d'identifier cette échelle invariante sous
les dilatations, vers les très petites échelles, à l'échelle d'espace et de
temps de Planck (Nottale, 1992),
Z JP = (li G/c 3 ) 1 1 2 = 1,61605(10) x 10· 35 rn et l]p> = lyplc,
4' partie : La théorie de la relativité d'échelle :formalisme mathématique
ques: dans le cas du mouvement, parce qu'elle permettrait une rotation
complète dans l'espace-temps, donc des retours arrière temporels qui
poseraient des problèmes fondamentaux de causalité ; dans le cas des
échelles, parce que le produit de deux contractions pourrait être une
dilatation, ce qu'on peut également exclure.
Désignons par L dans ce qui suit la partie asymptotique de la coordonnée fractale, qui correspond à une différence du type L-L 0 dans ce
qui précède (remplacer ensuite L par L-L 0 permet de prendre en compte
automatiquement la transition fractal-non fractal À). La nouvelle transformation d'échelle log-lorentzienne s'écrit, en fonction du rapport de
dilatation p entre échelles de résolutions E ~ e' (fig. 4.22) :
ln(L'lL 0 ) = [ln{L/L 0 ) + 't lnp] 1 [1 -ln 2 p 1 ln 2 (Â/A)]11 2
(28)
't'= [ 't + lnp ln{L/L 0 )/ln 2 (Â/A)] 1 [1 -ln 2 p 1 ln 2 (N'A)]ll 2
(29)
La loi de composition des dilatations prend la forme :
ln(E/'À) = [ ln(f/À) + lnp] 1 [1 + lnp ln(f/À)/ln 2 (Â/A)] .
(30)
Précisons que ces lois ne sont valables qu'en deçà de l'échelle de transition À (resp. au-delà de cette échelle de transition dans l'application
de cette loi vers les très grandes échelles), ce qui apparaît clairement
en remplaçant L par L-L 0 comme spécifié plus haut pour inclure la
transition).
Comme on peut le constater sur ces formules, l'échelle A est une
échelle de résolution qui montre des propriétés étonnantes. Quelle que
soit l'échelle de référence À choisie, si l'on part de l'échelle E =A et qu'on
lui applique une dilatation ou une contraction quelconque, on retrouve
après cette transformation d'échelle- aussi grande soit-elle ... la même
échelle A. Autrement dit, la nouvelle transformation introduit naturellement (comme constante d'intégration) une échelle invariante sous les
dilatations, inatteignable (il faudrait une dilatation infinie à partir de
toute échelle finie pour l'atteindre) et indépassable. Une telle échelle
invariante joue donc, pour les lois d'échelles un rôle semblable à celui
joué par la vitesse de la lumière c pour les lois du mouvement : celle-ci
(ou plus précisément la vitesse de n'importe quelle particule de masse
nulle dans le vide) est effectivement définie comme vitesse invariante
sous les changements de vitesse.
Les lois obtenues pouvant s'inverser, deux échelles invariantes et
indépassables (comme des horizons non comme des murs ou des cutoffs) apparaissent donc, l'une vers les petites échelles et l'autre vers les
grandes. Nous avons proposé d'identifier cette échelle invariante sous
les dilatations, vers les très petites échelles, à l'échelle d'espace et de
temps de Planck (Nottale, 1992),
Z JP = (li G/c 3 ) 1 1 2 = 1,61605(10) x 10· 35 rn et l]p> = lyplc,