4.4. La théorie de la relativité d'échelle
variation of the length
variation of the scale dimension
fractal
lj;
scale
~
scale
independant
~
independant
-------- ----ln E
ln E
Figure 4.21. Loi d'échelle non-linéaire: dynamique d'échelle avec potentiel
d'oscillateur harmonique dans l'espace des échelles.
On obtient un comportement à trois niveaux: auto-similaire aux petites échelles,
indépendant d'échelle aux grandes échelles, avec fort écart à l'invariance d'échelle
dans une gamme d'échelle intermédiaire. Appliquée dans l'espace des échelles,
une telle solution décrit un système compressé qui« protège» ses petites échelles
de la distorsion interne due à sa contraction globale. Appliquée à une variable
définie à partir d'un centre, elle décrit un système à trois niveaux, intérieur, extérieur et intermédiaire, la dimension fractale prenant de très grandes valeurs dans
la zone intermédiaire (ce qui correspond à un «épaississement» des trajectoires).
On peut interpréter cette zone intermédiaire comme l'existence d'une « peau »
ou « membrane » séparant les domaines intérieur et extérieur, ce qui est une des
propriétés essentielles des systèmes complexes (en particulier vivants).
Relativité restreinte d'échelle :
lois de dilatation log-lorentziennes,
échelle limite invariante sous les dilatations
377
C'est avec la relativité restreinte d'échelle que le concept d'« espacetemps-djinn »prend tout son sens. Cependant, celle-ci n'a été développée,
jusqu'à maintenant, qu'à deux dimensions, une dimension d'espace-temps
et le djinn. Un traitement complet à cinq dimensions reste à faire.
La remarque précédente, suivant laquelle les lois fractales standard
(à dimension fractale constante) ont la structure du groupe de Galilée
implique aussitôt une possibilité de généralisation de ces lois. En effet,
on sait depuis les travaux de Poincaré (1905) et Einstein (1905) que, en ce
qui concerne le mouvement, ce groupe n'est qu'un cas très particulier et
dégénéré du groupe de Lorentz. Or, on peut montrer (Nottale, 1992), qu'à
deux dimensions, sur les seules hypothèses que la loi de transformation
recherchée soit linéaire, interne et invariante par réflexion (hypothèse
déductibles du seul principe de relativité restreinte), on trouve comme
unique solution physiquement admissible le groupe de Lorentz : celui-ci
correspond à une métrique minkowskienne. L'autre solution possible
est la métrique euclidienne, exclue pour cause de contradictions physi-
variation of the length
variation of the scale dimension
fractal
lj;
scale
~
scale
independant
~
independant
-------- ----ln E
ln E
Figure 4.21. Loi d'échelle non-linéaire: dynamique d'échelle avec potentiel
d'oscillateur harmonique dans l'espace des échelles.
On obtient un comportement à trois niveaux: auto-similaire aux petites échelles,
indépendant d'échelle aux grandes échelles, avec fort écart à l'invariance d'échelle
dans une gamme d'échelle intermédiaire. Appliquée dans l'espace des échelles,
une telle solution décrit un système compressé qui« protège» ses petites échelles
de la distorsion interne due à sa contraction globale. Appliquée à une variable
définie à partir d'un centre, elle décrit un système à trois niveaux, intérieur, extérieur et intermédiaire, la dimension fractale prenant de très grandes valeurs dans
la zone intermédiaire (ce qui correspond à un «épaississement» des trajectoires).
On peut interpréter cette zone intermédiaire comme l'existence d'une « peau »
ou « membrane » séparant les domaines intérieur et extérieur, ce qui est une des
propriétés essentielles des systèmes complexes (en particulier vivants).
Relativité restreinte d'échelle :
lois de dilatation log-lorentziennes,
échelle limite invariante sous les dilatations
377
C'est avec la relativité restreinte d'échelle que le concept d'« espacetemps-djinn »prend tout son sens. Cependant, celle-ci n'a été développée,
jusqu'à maintenant, qu'à deux dimensions, une dimension d'espace-temps
et le djinn. Un traitement complet à cinq dimensions reste à faire.
La remarque précédente, suivant laquelle les lois fractales standard
(à dimension fractale constante) ont la structure du groupe de Galilée
implique aussitôt une possibilité de généralisation de ces lois. En effet,
on sait depuis les travaux de Poincaré (1905) et Einstein (1905) que, en ce
qui concerne le mouvement, ce groupe n'est qu'un cas très particulier et
dégénéré du groupe de Lorentz. Or, on peut montrer (Nottale, 1992), qu'à
deux dimensions, sur les seules hypothèses que la loi de transformation
recherchée soit linéaire, interne et invariante par réflexion (hypothèse
déductibles du seul principe de relativité restreinte), on trouve comme
unique solution physiquement admissible le groupe de Lorentz : celui-ci
correspond à une métrique minkowskienne. L'autre solution possible
est la métrique euclidienne, exclue pour cause de contradictions physi-