4.4. La théorie de la relativité d'échelle
variation of the length
ln E
scale
independant
variation of the scale dimension
c
fractal
.Q
~
~
scale
independant
ln E
Figure 4.20. Loi d 'échelle non-linéaire : dynamique d'échelle avec force
constante.
La variation de la longueur est maintenant parabolique, tandis que la dimension
fractale effective varie de manière linéaire en fonction du logarithme de l'échelle.
On a rajouté une transition vers un régime non-fractal (indépendant d'échelle)
aux grandes échelles.
375
<">
0
::3
~
~
~
'f
~
()
,
Ce résultat est potentiellement applicable à de nombreuses situations,
dans tous les domaines où prévaut l'analyse fractale (physique, chimie,
biologie, médecine, géographie ... ). En effet il est fréquent qu'après analyse soigneuse de la dépendance d'échelle d'une grandeur, le modèle
en loi de puissance soit rejeté pour cause de variation de la pente dans
le plan (log L, logE). Dans de tels cas, la conclusion que le phénomène
considéré n'est pas fractal pourrait s'avérer prématurée. Il pourrait au
contraire s'agir d'un comportement fractal non-linéaire relevant d'une
dynamique d'échelle, auquel cas l'identification et l'étude de la force
d'échelle responsable de la distorsion se révèlerait potentiellement du
plus haut intérêt.
Oscillateur harmonique d'échelle
Un autre cas intéressant de potentiel d'échelle est celui de l'oscillateur harmonique. Dans le cas où il est « attractif », l'équation d'échelle
s'écrit:
ln L" + a 2 ln L = O.
(25)
Où " désigne la dérivée seconde par rapport à la dimension fractale
variable représentée par 't (rappelons que DF = 't+ DT, ce qui signifie que
DF = 't pour un ensemble de points, DF = 't+ 1 pour une courbe, etc.). En
posant a= ln(À/A), on trouve après quelques calculs que la solution de
cette équation s'écrit :
ln(L/Lo) = [1-ln 2 (À/E) /ln 2 (À/A)]ll 2 .
(26)
Il apparaît ainsi une échelle minimale ou maximale A pour le système
considéré, tandis que la pente dlnL 1 dlnE (à ne plus confondre avec le
variation of the length
ln E
scale
independant
variation of the scale dimension
c
fractal
.Q
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scale
independant
ln E
Figure 4.20. Loi d 'échelle non-linéaire : dynamique d'échelle avec force
constante.
La variation de la longueur est maintenant parabolique, tandis que la dimension
fractale effective varie de manière linéaire en fonction du logarithme de l'échelle.
On a rajouté une transition vers un régime non-fractal (indépendant d'échelle)
aux grandes échelles.
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Ce résultat est potentiellement applicable à de nombreuses situations,
dans tous les domaines où prévaut l'analyse fractale (physique, chimie,
biologie, médecine, géographie ... ). En effet il est fréquent qu'après analyse soigneuse de la dépendance d'échelle d'une grandeur, le modèle
en loi de puissance soit rejeté pour cause de variation de la pente dans
le plan (log L, logE). Dans de tels cas, la conclusion que le phénomène
considéré n'est pas fractal pourrait s'avérer prématurée. Il pourrait au
contraire s'agir d'un comportement fractal non-linéaire relevant d'une
dynamique d'échelle, auquel cas l'identification et l'étude de la force
d'échelle responsable de la distorsion se révèlerait potentiellement du
plus haut intérêt.
Oscillateur harmonique d'échelle
Un autre cas intéressant de potentiel d'échelle est celui de l'oscillateur harmonique. Dans le cas où il est « attractif », l'équation d'échelle
s'écrit:
ln L" + a 2 ln L = O.
(25)
Où " désigne la dérivée seconde par rapport à la dimension fractale
variable représentée par 't (rappelons que DF = 't+ DT, ce qui signifie que
DF = 't pour un ensemble de points, DF = 't+ 1 pour une courbe, etc.). En
posant a= ln(À/A), on trouve après quelques calculs que la solution de
cette équation s'écrit :
ln(L/Lo) = [1-ln 2 (À/E) /ln 2 (À/A)]ll 2 .
(26)
Il apparaît ainsi une échelle minimale ou maximale A pour le système
considéré, tandis que la pente dlnL 1 dlnE (à ne plus confondre avec le