374
4' partie : La théorie de la relativité d'échelle :formalisme mathématique
V = ln(À/E), conduit alors naturellement à définir une « accélération
d'échelle » en dérivant une nouvelle fois :
r = d 2 lnL / d't 2 = d ln(À/E) / d't.
(20)
l:introduction d'une force d'échelle permet ensuite d'écrire une version
appliquée aux lois d'échelle de l'équation de la dynamique de Newton
(qui n'est rien d'autre qu'un cas particulier de l'équation de Lagrange
précédente) :
F = Il r = Il (d 2 lnL 1 d't 2 ) ,
(21)
où J.1 est une « masse d'échelle », qui mesure comment le système résiste
à la « force d'échelle » (laquelle décrit, de manière plus profonde, un effet
géométrique de distorsion du système par rapport à un comportement
auto-similaire).
Force d'échelle constante
Considérons tout d'abord le cas d'une force constante. Celle-ci dérive
d'un « potentiel d'échelle » <)> = F lnL On peut écrire l'équation (21) sous
la forme:
d 2 lnL 1 d't 2 = G,
(22)
où G = F/J.l = este. Il s'agit là de l'équivalent pour les échelles de ce qu'est la
chute des corps dans un champ de gravité constant. Sa solution, comme
pour le mouvement, décrit une variation parabolique (du logarithme de
la position en fonction du djinn ou « temps d'échelle »,en analogie avec
la variation de la position en fonction du temps pour le mouvement de
chute des corps) :
V= Vo + G 't, lnL = lnLo + V 0 't + (1/2) G 't 2 .
(23)
Sous cette forme, la signification physique de ce résultat n'apparaît
pas clairement. En effet, du point de vue expérimental, c'est en fonction
de la résolution que s'observent les variations de ln Let éventuellement
de 't. Mais ces deux équations peuvent s'inverser sous une forme qui
généralise l'expression habituelle d'un comportement fractal. Après
redéfinition des constantes d'intégration, cette solution se ré-exprime
sous la forme :
't = (1/G) ln(l .. ofe), ln(L/Lo) = (l/2G) ln 2 (Àofe)
(24)
Ainsi la dimension fractale, qui est constante pour les fractals autosimilaires, est devenue une fonction linéaire de la log-résolution, tandis
que le logarithme de la longueur varie maintenant, non plus linéairement,
mais de manière parabolique (fig. 4.20).
4' partie : La théorie de la relativité d'échelle :formalisme mathématique
V = ln(À/E), conduit alors naturellement à définir une « accélération
d'échelle » en dérivant une nouvelle fois :
r = d 2 lnL / d't 2 = d ln(À/E) / d't.
(20)
l:introduction d'une force d'échelle permet ensuite d'écrire une version
appliquée aux lois d'échelle de l'équation de la dynamique de Newton
(qui n'est rien d'autre qu'un cas particulier de l'équation de Lagrange
précédente) :
F = Il r = Il (d 2 lnL 1 d't 2 ) ,
(21)
où J.1 est une « masse d'échelle », qui mesure comment le système résiste
à la « force d'échelle » (laquelle décrit, de manière plus profonde, un effet
géométrique de distorsion du système par rapport à un comportement
auto-similaire).
Force d'échelle constante
Considérons tout d'abord le cas d'une force constante. Celle-ci dérive
d'un « potentiel d'échelle » <)> = F lnL On peut écrire l'équation (21) sous
la forme:
d 2 lnL 1 d't 2 = G,
(22)
où G = F/J.l = este. Il s'agit là de l'équivalent pour les échelles de ce qu'est la
chute des corps dans un champ de gravité constant. Sa solution, comme
pour le mouvement, décrit une variation parabolique (du logarithme de
la position en fonction du djinn ou « temps d'échelle »,en analogie avec
la variation de la position en fonction du temps pour le mouvement de
chute des corps) :
V= Vo + G 't, lnL = lnLo + V 0 't + (1/2) G 't 2 .
(23)
Sous cette forme, la signification physique de ce résultat n'apparaît
pas clairement. En effet, du point de vue expérimental, c'est en fonction
de la résolution que s'observent les variations de ln Let éventuellement
de 't. Mais ces deux équations peuvent s'inverser sous une forme qui
généralise l'expression habituelle d'un comportement fractal. Après
redéfinition des constantes d'intégration, cette solution se ré-exprime
sous la forme :
't = (1/G) ln(l .. ofe), ln(L/Lo) = (l/2G) ln 2 (Àofe)
(24)
Ainsi la dimension fractale, qui est constante pour les fractals autosimilaires, est devenue une fonction linéaire de la log-résolution, tandis
que le logarithme de la longueur varie maintenant, non plus linéairement,
mais de manière parabolique (fig. 4.20).