4.4. La théorie de la relativité d'échelle
373
dlnL/d't = ln(ÀIE) =constante.
(16)
La constance de la résolution signifie ici son indépendance en fonction
du djinn 't. La solution prend finalement la forme attendue, L = Lo (À/E)t.
Plus généralement, on peut alors faire l'hypothèse que, les lois d'échelle
peuvent être construites à partir d'un principe de moindre action. On
introduit une fonction de Lagrange d'échelle, L(lnL, V, 't), où V = ln("A/E),
puis une action d'échelle:
J
ot2
S =
L(lnL, V, 't) d't .
(17)
tl
Le principe d'action stationnaire conduit alors à l'obtention d'une
forme générale des équations différentielles d'échelle cherchées, en
termes d'équations d'Euler-Lagrange d'échelle :
d (oL/oV) ; d't = oL/olnL.
(18)
Remarquons néanmoins qu'une telle forme des équations n'est valable
que pour les processus mettant en œuvre une variation monotone du
djinn 't, (ou sur des intervalles d'échelle où cette variation est monotone),
ce qui ne s'applique pas dans tous les cas (voir par exemple les fluctuations log-périodiques) contrairement aux lois du mouvement classiques
où le temps s'écoule de façon monotone. On sera donc amené à généraliser les lois d'échelle sous cette forme de« dynamique d'échelle», mais
aussi à considéréer également, en parallèle, les équations différentielles
d'échelle écrites en terme de ln("A/E) au lieu de 't.
Dynamique d'échelle et force d'échelle
La forme la plus simple de ces équations est celle où le deuxième
membre s'annule (absence de force d'échelle) et où la fonction de Lagrange
prend la forme newtonienne où Lest proportionnel à V 2 . On retrouve
là, par cette autre voie, le comportement d'« inertie d'échelle » en loi de
puissance. En effet, l'équation de Lagrange s'écrit dans ce cas :
dV 1 d't = 0 => V = est.
(19)
Cette constance de la « vitesse d'échelle » ln(À/E) signifie ici, comme
nous l'avons déjà remarqué, qu'elle est indépendante de 't. I.:équation
d'Euler-Lagrange d'échelle s'intègre alors dans ce cas suivant la forme
usuelle du comportement fractal L = L 0 (À/E)'t. Mais l'avantage principal
de cette représentation est qu'elle permet de passer à l'ordre suivant,
c'est-à-dire à des comportements non-linéaires de dynamique d'échelle.
On considère que la résolution E peut maintenant devenir une fonction
du djinn 't. Le fait d'avoir identifié la résolution à une «vitesse d'échelle»,
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dlnL/d't = ln(ÀIE) =constante.
(16)
La constance de la résolution signifie ici son indépendance en fonction
du djinn 't. La solution prend finalement la forme attendue, L = Lo (À/E)t.
Plus généralement, on peut alors faire l'hypothèse que, les lois d'échelle
peuvent être construites à partir d'un principe de moindre action. On
introduit une fonction de Lagrange d'échelle, L(lnL, V, 't), où V = ln("A/E),
puis une action d'échelle:
J
ot2
S =
L(lnL, V, 't) d't .
(17)
tl
Le principe d'action stationnaire conduit alors à l'obtention d'une
forme générale des équations différentielles d'échelle cherchées, en
termes d'équations d'Euler-Lagrange d'échelle :
d (oL/oV) ; d't = oL/olnL.
(18)
Remarquons néanmoins qu'une telle forme des équations n'est valable
que pour les processus mettant en œuvre une variation monotone du
djinn 't, (ou sur des intervalles d'échelle où cette variation est monotone),
ce qui ne s'applique pas dans tous les cas (voir par exemple les fluctuations log-périodiques) contrairement aux lois du mouvement classiques
où le temps s'écoule de façon monotone. On sera donc amené à généraliser les lois d'échelle sous cette forme de« dynamique d'échelle», mais
aussi à considéréer également, en parallèle, les équations différentielles
d'échelle écrites en terme de ln("A/E) au lieu de 't.
Dynamique d'échelle et force d'échelle
La forme la plus simple de ces équations est celle où le deuxième
membre s'annule (absence de force d'échelle) et où la fonction de Lagrange
prend la forme newtonienne où Lest proportionnel à V 2 . On retrouve
là, par cette autre voie, le comportement d'« inertie d'échelle » en loi de
puissance. En effet, l'équation de Lagrange s'écrit dans ce cas :
dV 1 d't = 0 => V = est.
(19)
Cette constance de la « vitesse d'échelle » ln(À/E) signifie ici, comme
nous l'avons déjà remarqué, qu'elle est indépendante de 't. I.:équation
d'Euler-Lagrange d'échelle s'intègre alors dans ce cas suivant la forme
usuelle du comportement fractal L = L 0 (À/E)'t. Mais l'avantage principal
de cette représentation est qu'elle permet de passer à l'ordre suivant,
c'est-à-dire à des comportements non-linéaires de dynamique d'échelle.
On considère que la résolution E peut maintenant devenir une fonction
du djinn 't. Le fait d'avoir identifié la résolution à une «vitesse d'échelle»,