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4' partie : La théorie de la relativité d'échelle :formalisme mathématique
Avec Galilée, le temps devient une variable primaire et la vitesse
se déduit de l'espace et du temps, qui se retrouvent sur un même plan,
sous forme d'un espace-temps (qui reste cependant dégénéré car la
vitesse limite c y est implicitement infinie). Ceci implique le caractère
vectoriel de la vitesse et son aspect local (finalement mis en oeuvre par
sa définition comme dérivée de la position par rapport au temps). Le
même renversement peut s'appliquer aux échelles. L'exposant 't devient
lui-même variable primaire, traitée sur le même plan que l'espace et le
temps, et les résolutions sont alors définies comme dérivées à partir de la
coordonnée fractale et de 't (c'est-à-dire comme « vitesses d'échelle ») :
V = ln(JJE) = dlnL 1 d't.
(13)
Ce sens nouveau et fondamental donné à la dimension fractale
OF= 't+ DT (qui diffère de 't par une constante), traitée maintenant comme
une variable, rend nécessaire de lui attribuer un nouveau nom. Nous
avons proposé d'appeler « djinn 1 » cette dimension fractale maintenant
variable. Cette définition permet de travailler dans un espace-tempsdjinn à cinq dimensions, dans lequel la dimension (fractale) de l'espacetemps n'est plus fixée, mais est définie par les valeurs variables d'une
nouvelle coordonnée qui se combine maintenant avec celles d'espace
et de temps. Le caractère vectoriel des zooms est alors apparent, car les
quatre résolutions spatio-temporelles peuvent maintenant se définir à
partir des quatre coordonnées d'espace-temps et du djinn :
VÏ = dxi/dt H ln(ÂNEil) = dlnLil/d't.
(14)
On pourrait objecter que du point de vue des mesures, c'est à L (la
longueur d'une courbe fractale d'un point de cette courbe à un autre,
ou encore une coordonnée fractale), et E (l'intervalle de résolution, où
échelle d'observation) que l'on a accès et que le djinn 't s'en déduit. Mais
on remarquera qu'il en est de même de la variable temporelle, qui reste
toujours mesurée de manière indirecte. Un dernier avantage de ce renversement apparaîtra dans la suite, dans les tentatives de construction
d'une relativité d'échelle généralisée. Il permet en effet la définition d'un
concept nouveau, celui de l'accélération d'échelle, J1t = d 2 lnD/d't 2 , nécessaire au passage à des lois d'échelle non linéaires et à une« dynamique »
d'échelle. L'introduction de ce concept permet de renforcer encore l'identification des fractals à dimension constante à une « inertie d'échelle ».
En effet, l'équation « du vide » dépourvu de toute force (d'échelle) doit
s'écrire (à une dimension pour simplifier l'écriture) :
ï = d 2 lnL / d't 2 =O.
(15)
Elle s'intègre comme
1. D'après le tibétain << don, qualité > > .
4' partie : La théorie de la relativité d'échelle :formalisme mathématique
Avec Galilée, le temps devient une variable primaire et la vitesse
se déduit de l'espace et du temps, qui se retrouvent sur un même plan,
sous forme d'un espace-temps (qui reste cependant dégénéré car la
vitesse limite c y est implicitement infinie). Ceci implique le caractère
vectoriel de la vitesse et son aspect local (finalement mis en oeuvre par
sa définition comme dérivée de la position par rapport au temps). Le
même renversement peut s'appliquer aux échelles. L'exposant 't devient
lui-même variable primaire, traitée sur le même plan que l'espace et le
temps, et les résolutions sont alors définies comme dérivées à partir de la
coordonnée fractale et de 't (c'est-à-dire comme « vitesses d'échelle ») :
V = ln(JJE) = dlnL 1 d't.
(13)
Ce sens nouveau et fondamental donné à la dimension fractale
OF= 't+ DT (qui diffère de 't par une constante), traitée maintenant comme
une variable, rend nécessaire de lui attribuer un nouveau nom. Nous
avons proposé d'appeler « djinn 1 » cette dimension fractale maintenant
variable. Cette définition permet de travailler dans un espace-tempsdjinn à cinq dimensions, dans lequel la dimension (fractale) de l'espacetemps n'est plus fixée, mais est définie par les valeurs variables d'une
nouvelle coordonnée qui se combine maintenant avec celles d'espace
et de temps. Le caractère vectoriel des zooms est alors apparent, car les
quatre résolutions spatio-temporelles peuvent maintenant se définir à
partir des quatre coordonnées d'espace-temps et du djinn :
VÏ = dxi/dt H ln(ÂNEil) = dlnLil/d't.
(14)
On pourrait objecter que du point de vue des mesures, c'est à L (la
longueur d'une courbe fractale d'un point de cette courbe à un autre,
ou encore une coordonnée fractale), et E (l'intervalle de résolution, où
échelle d'observation) que l'on a accès et que le djinn 't s'en déduit. Mais
on remarquera qu'il en est de même de la variable temporelle, qui reste
toujours mesurée de manière indirecte. Un dernier avantage de ce renversement apparaîtra dans la suite, dans les tentatives de construction
d'une relativité d'échelle généralisée. Il permet en effet la définition d'un
concept nouveau, celui de l'accélération d'échelle, J1t = d 2 lnD/d't 2 , nécessaire au passage à des lois d'échelle non linéaires et à une« dynamique »
d'échelle. L'introduction de ce concept permet de renforcer encore l'identification des fractals à dimension constante à une « inertie d'échelle ».
En effet, l'équation « du vide » dépourvu de toute force (d'échelle) doit
s'écrire (à une dimension pour simplifier l'écriture) :
ï = d 2 lnL / d't 2 =O.
(15)
Elle s'intègre comme
1. D'après le tibétain << don, qualité > > .