4.4. La théorie de la relativité d'échelle
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expérimentalement : on s'attend ainsi à ce qu'une horloge naturelle,
désynchronisée des autres horloges, montre une dérive logarithmique.
C'est la synchronisation des horloges entre elles qui permet de définir
un battement périodique, mais une horloge laissée libre et qui ne serait
plus synchronisée aux autres se mettrait automatiquement à dériver. Il
s'agit là d'une manifestation profonde du principe de relativité suivant
lequel seule la comparaison entre deux horloges a un sens, si bien que
la régularité ou la non-régularité d'une horloge prise en elle-même
sans référence ne peut en aucun cas être établie (Nottale et Timar,
2008). Inversement, une horloge log-périodique qui serait comparée à
une autre horloge log-périodique de même temps critique apparaîtrait
comme périodique (fig. 4.19) ...
Dimension fractale variable :
équations d'Euler-Lagrange en échelle
Considérons maintenant le cas de la « dynamique d'échelle ». Comme
nous l'indiquions dans ce qui précède, le comportement strictement
invariant d'échelle à dimension fractale constante correspond à un comportement libre du point de vue de la physique d'échelle. Aussi, de même
qu'il existe des forces qui impliquent un écart au mouvement inertiel,
on s'attend également à voir les systèmes fractals naturels présenter des
distorsions par rapport au comportement auto-similaire. Par analogie,
de telles distorsions peuvent, dans une première étape, être attribuées à
l'effet d'une« force d'échelle» ou encore d'un« champ d'échelle». Mais,
de manière plus profonde, un tel champ peut d'emblée, être considéré
comme une manifestation de la géométrie fractale (de même que le
champ de gravitation est une manifestation de la géométrie courbe en
relativité généralisée du mouvement d'Einstein).
Avant d'introduire ce concept, rappelons le renversement de signification qui doit être effectué en ce qui concerne les variables d'échelle, en
comparaison avec la description usuelle des objets fractals. Ce renversement est parallèle, en ce qui concerne les échelles, à celui qui fut opéré
pour les lois du mouvement dans le passage de lois « aristotéliciennes »
aux lois galiléennes.
Du point de vue aristotélicien, le temps est la mesure du mouvement : il se définit donc à partir de l'espace et de la vitesse. De même, la
dimension fractale est définie en général à partir de la mesure de l'objet
fractal (par exemple la longueur d'une courbe, l'aire d'une surface, etc.)
et de la résolution :
« t = x/v » H "t = Dp - DT = dlnL / d ln(À/E).
(12)
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expérimentalement : on s'attend ainsi à ce qu'une horloge naturelle,
désynchronisée des autres horloges, montre une dérive logarithmique.
C'est la synchronisation des horloges entre elles qui permet de définir
un battement périodique, mais une horloge laissée libre et qui ne serait
plus synchronisée aux autres se mettrait automatiquement à dériver. Il
s'agit là d'une manifestation profonde du principe de relativité suivant
lequel seule la comparaison entre deux horloges a un sens, si bien que
la régularité ou la non-régularité d'une horloge prise en elle-même
sans référence ne peut en aucun cas être établie (Nottale et Timar,
2008). Inversement, une horloge log-périodique qui serait comparée à
une autre horloge log-périodique de même temps critique apparaîtrait
comme périodique (fig. 4.19) ...
Dimension fractale variable :
équations d'Euler-Lagrange en échelle
Considérons maintenant le cas de la « dynamique d'échelle ». Comme
nous l'indiquions dans ce qui précède, le comportement strictement
invariant d'échelle à dimension fractale constante correspond à un comportement libre du point de vue de la physique d'échelle. Aussi, de même
qu'il existe des forces qui impliquent un écart au mouvement inertiel,
on s'attend également à voir les systèmes fractals naturels présenter des
distorsions par rapport au comportement auto-similaire. Par analogie,
de telles distorsions peuvent, dans une première étape, être attribuées à
l'effet d'une« force d'échelle» ou encore d'un« champ d'échelle». Mais,
de manière plus profonde, un tel champ peut d'emblée, être considéré
comme une manifestation de la géométrie fractale (de même que le
champ de gravitation est une manifestation de la géométrie courbe en
relativité généralisée du mouvement d'Einstein).
Avant d'introduire ce concept, rappelons le renversement de signification qui doit être effectué en ce qui concerne les variables d'échelle, en
comparaison avec la description usuelle des objets fractals. Ce renversement est parallèle, en ce qui concerne les échelles, à celui qui fut opéré
pour les lois du mouvement dans le passage de lois « aristotéliciennes »
aux lois galiléennes.
Du point de vue aristotélicien, le temps est la mesure du mouvement : il se définit donc à partir de l'espace et de la vitesse. De même, la
dimension fractale est définie en général à partir de la mesure de l'objet
fractal (par exemple la longueur d'une courbe, l'aire d'une surface, etc.)
et de la résolution :
« t = x/v » H "t = Dp - DT = dlnL / d ln(À/E).
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