4.4. La théorie de la relativité d'échelle
369
Des fluctuations log-périodiques ont également été obtenues dans le
cadre relativiste d'échelle à travers la ré-interprétation de l'invariance de
jauge et de la nature de l'électromagnétisme qui peut y être proposée
(voir plus loin et (Nottale, 1996)).
_.
c:
variation of the length
ln E
scale
independant
variation of the scale dimension
fractal
Figure 4.18. Loi d'échelle non-linéaire: corrections log-périodiques à l'autosimilarité.
La figure de gauche donne la variation de la longueur d'une courbe fractale (Eq. 11)
en fonction de l'échelle, la figure de droite donne la variation de la dimension
fractale effective. Une telle courbe n'est plus strictement auto-similaire, mais
seulement de manière discrète (la fluctuation log-périodique apparaissant comme
correction à la loi de puissance). On les obtient comme solutions d'une équation
«d'onde d'échelle» du deuxième ordre (Eq. 10). De nombreux fractals construits
de manière itérative montrent un tel comportement log-périodique.
Application à la chronologie évolutive de phénomènes
de crise : la loi log-périodique comme généralisation
naturelle des horloges périodiques
Cette loi log-périodique jouant un rôle important dans la description
de nombreux systèmes naturels couvrant des sciences diverses 1 (voir
d'autres exemples dans le présent ouvrage), elle mérite une analyse plus
poussée, en particulier en ce qui concerne son application temporelle.
Comme nous l'avons vu, cette loi est obtenue comme solution générale
d'une « équation d'onde d'échelle » qui peut elle-même se construire
à partir d'une exigence de covariance d'échelle. Si l'on choisit comme
variable d'échelle l'écart T-Tc à une époque critique Tc' on obtient une
périodicité en log 1 T-Tc 1, qui se traduit par une accélération ou une décélération du point de vue de la variable temporelle ordinaire T. Mais cette
loi de chronologie contient comme solution particulière la périodicité
ordinaire (c'est-à-dire les horloges habituelles qui battent régulièrement),
1. Voir Nottale, Chaline et Grou. 2000. Les Arbres de l'évolution. Op. cit.
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Des fluctuations log-périodiques ont également été obtenues dans le
cadre relativiste d'échelle à travers la ré-interprétation de l'invariance de
jauge et de la nature de l'électromagnétisme qui peut y être proposée
(voir plus loin et (Nottale, 1996)).
_.
c:
variation of the length
ln E
scale
independant
variation of the scale dimension
fractal
Figure 4.18. Loi d'échelle non-linéaire: corrections log-périodiques à l'autosimilarité.
La figure de gauche donne la variation de la longueur d'une courbe fractale (Eq. 11)
en fonction de l'échelle, la figure de droite donne la variation de la dimension
fractale effective. Une telle courbe n'est plus strictement auto-similaire, mais
seulement de manière discrète (la fluctuation log-périodique apparaissant comme
correction à la loi de puissance). On les obtient comme solutions d'une équation
«d'onde d'échelle» du deuxième ordre (Eq. 10). De nombreux fractals construits
de manière itérative montrent un tel comportement log-périodique.
Application à la chronologie évolutive de phénomènes
de crise : la loi log-périodique comme généralisation
naturelle des horloges périodiques
Cette loi log-périodique jouant un rôle important dans la description
de nombreux systèmes naturels couvrant des sciences diverses 1 (voir
d'autres exemples dans le présent ouvrage), elle mérite une analyse plus
poussée, en particulier en ce qui concerne son application temporelle.
Comme nous l'avons vu, cette loi est obtenue comme solution générale
d'une « équation d'onde d'échelle » qui peut elle-même se construire
à partir d'une exigence de covariance d'échelle. Si l'on choisit comme
variable d'échelle l'écart T-Tc à une époque critique Tc' on obtient une
périodicité en log 1 T-Tc 1, qui se traduit par une accélération ou une décélération du point de vue de la variable temporelle ordinaire T. Mais cette
loi de chronologie contient comme solution particulière la périodicité
ordinaire (c'est-à-dire les horloges habituelles qui battent régulièrement),
1. Voir Nottale, Chaline et Grou. 2000. Les Arbres de l'évolution. Op. cit.