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4' partie: La théorie de la relativité d'échelle: formalisme mathématique
Lois d'échelle non linéaires:
équations du deuxième ordre, invariance
d'échelle discrète, lois log-périodiques
Parmi les corrections à l'invariance d'échelle (caractérisée par des lois
de puissance), l'une d'entre elles s'est révélée jouer un rôle important
dans de nombreux domaines qui ne se réduisent pas à la seule physique.
Il s'agit des lois log-périodiques, qui peuvent être définies par l'apparition d'exposants d'échelle ou de dimensions fractales complexes (voir
Sornette, 1998 et références incluses).
On peut obtenir une telle correction log-périodique à une loi de
puissance (Nottale, 1997) à partir de l'exigence de covariance d'échelle,
c'est-à-dire de conservation de la forme des équations dépendantes
d'échelle. Considérons en effet une quantité explicitement dépendante
de la résolution, <1> (E). Dans les applications à la chronologie évolutive de
phénomènes de crise, la variable E sera identifiée à l'intervalle de temps
T-Tc, où Tc est la date critique. Supposons qu'en première approximation,
<1> satisfasse à une équation différentielle du premier ordre :
d/dlnE- D <1> = 0,
(7)
où D est une constante, dont la solution est une loi de puissance, <1> (E) oc
e 0 . Dans la recherche de corrections d'ordre suivant à cette loi, on
remarquera qu'introduire directement un exposant complexe n'est pas
satisfaisant : cela conduirait à des fluctuations log-périodiques de grande
ampleur plutôt qu'à une correction à la loi de puissance pouvant rester
petite. Nous allons donc, dans une deuxième étape, faire l'hypothèse
que l'annulation de la différence (Eq. 7) n'était qu'approximative, et que
le deuxième membre de cette équation est en fait non nul :
d/dlnE - D <1> = X·
(8)
Nous exigerons alors que la nouvelle fonction X soit elle-même solution d'une équation qui garde la même forme que l'équation initiale (ce
qui est une exigence de covariance) :
d XfdlnE - D' X = O.
(9)
En posant D'= D +ô, on trouve alors que <1> est solution d'une équation
générale du deuxième ordre:
d2q}f(dlnef - B d/dlnE + C <1> = O.
(10)
où B = 2 D +ô etC= D (D +ô). Cette solution s'écrit <1> (e) =a e 0 (1 + b él),
où b peut maintenant être arbitrairement petit. Finalement, le choix d'un
exposant imaginaire ô = ioo mène à une solution dont la partie réelle
inclut une correction log-périodique (fig. 4.18) :
(E) = a e 0 [ 1 + b cos(oo lne) ].
(11)
4' partie: La théorie de la relativité d'échelle: formalisme mathématique
Lois d'échelle non linéaires:
équations du deuxième ordre, invariance
d'échelle discrète, lois log-périodiques
Parmi les corrections à l'invariance d'échelle (caractérisée par des lois
de puissance), l'une d'entre elles s'est révélée jouer un rôle important
dans de nombreux domaines qui ne se réduisent pas à la seule physique.
Il s'agit des lois log-périodiques, qui peuvent être définies par l'apparition d'exposants d'échelle ou de dimensions fractales complexes (voir
Sornette, 1998 et références incluses).
On peut obtenir une telle correction log-périodique à une loi de
puissance (Nottale, 1997) à partir de l'exigence de covariance d'échelle,
c'est-à-dire de conservation de la forme des équations dépendantes
d'échelle. Considérons en effet une quantité explicitement dépendante
de la résolution, <1> (E). Dans les applications à la chronologie évolutive de
phénomènes de crise, la variable E sera identifiée à l'intervalle de temps
T-Tc, où Tc est la date critique. Supposons qu'en première approximation,
<1> satisfasse à une équation différentielle du premier ordre :
d
(7)
où D est une constante, dont la solution est une loi de puissance, <1> (E) oc
e 0 . Dans la recherche de corrections d'ordre suivant à cette loi, on
remarquera qu'introduire directement un exposant complexe n'est pas
satisfaisant : cela conduirait à des fluctuations log-périodiques de grande
ampleur plutôt qu'à une correction à la loi de puissance pouvant rester
petite. Nous allons donc, dans une deuxième étape, faire l'hypothèse
que l'annulation de la différence (Eq. 7) n'était qu'approximative, et que
le deuxième membre de cette équation est en fait non nul :
d/dlnE - D <1> = X·
(8)
Nous exigerons alors que la nouvelle fonction X soit elle-même solution d'une équation qui garde la même forme que l'équation initiale (ce
qui est une exigence de covariance) :
d XfdlnE - D' X = O.
(9)
En posant D'= D +ô, on trouve alors que <1> est solution d'une équation
générale du deuxième ordre:
d2q}f(dlnef - B d/dlnE + C <1> = O.
(10)
où B = 2 D +ô etC= D (D +ô). Cette solution s'écrit <1> (e) =a e 0 (1 + b él),
où b peut maintenant être arbitrairement petit. Finalement, le choix d'un
exposant imaginaire ô = ioo mène à une solution dont la partie réelle
inclut une correction log-périodique (fig. 4.18) :
(E) = a e 0 [ 1 + b cos(oo lne) ].
(11)