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4' partie : La théorie de la relativité d'échelle :formalisme mathématique
Brisure de l'invariance d'échelle :
échelles de transition
L'expression (2) est invariante d'échelle. Cette invariance est spontanément brisée par l'existence du déplacement et du mouvement, qui
se surajoute aux transformations d'échelle pures. Changeons en effet
l'origine du système de coordonnées. Nous obtenons
L = L 1 + Lo (À()/E)" = L 1 [ 1 + (f- 1 /E)"],
(5)
où Àl = ÀQ (LofLI)l/". Alors que l'échelle ÀQ restait arbitraire, l'échelle
Àl (qui reste relative du point de vue de l'espace-temps) prend le sens
d'une échelle de brisure de symétrie d'échelle (autrement dit, de transition fractal-non fractal dans l'espace des échelles). En effet, il est aisé de
constater que pour E >> f- 1 , L devient de l'ordre de L1 et ne dépend plus
de la résolution, tandis que pour E << Àl, on récupère la dépendance
en échelle donnée par l'Eq. (2), asymptotiquement invariante d'échelle.
Or ce comportement (Eq. 5), qui satisfait donc au double principe de
relativité de la position (plus généralement, du mouvement) et d'échelle,
est précisément obtenu comme solution de la plus simple des équations
différentielles en échelle qu'on puisse écrire (équation du premier ordre,
ne dépendant que de L lui-même). Maintenant, cette dépendance de L
en fonction de l'échelle est développable en série de Taylor :
dL/dlnE = ~ (L) =a+ b L +...
(6)
où le cas précédent (Eq. 2) correspond à la simplification a = O. La solution
de l'Eq. (6), représentée fig. 4.16, est effectivement donnée par l'expression
(5), avec 't = -b, L 1 = -a/b, sachant que Àl est une constante d'intégration.
Noter que si l'on pousse plus loin le développement limité, on obtient
des solutions montrant plusieurs échelles de transition, en accord avec
le comportement observé de nombreux objets fractals naturels (Mandelbrot, 1975, 1982). En particulier, en allant jusqu'au deuxième ordre,
on trouve des structures fractales avec un eut-off inférieur et un eut-off
supérieur. On peut également obtenir des comportements dépendant
d'échelle vers les petites et les grandes échelles, mais qui en sont indépendants aux échelles intermédiaires.
4' partie : La théorie de la relativité d'échelle :formalisme mathématique
Brisure de l'invariance d'échelle :
échelles de transition
L'expression (2) est invariante d'échelle. Cette invariance est spontanément brisée par l'existence du déplacement et du mouvement, qui
se surajoute aux transformations d'échelle pures. Changeons en effet
l'origine du système de coordonnées. Nous obtenons
L = L 1 + Lo (À()/E)" = L 1 [ 1 + (f- 1 /E)"],
(5)
où Àl = ÀQ (LofLI)l/". Alors que l'échelle ÀQ restait arbitraire, l'échelle
Àl (qui reste relative du point de vue de l'espace-temps) prend le sens
d'une échelle de brisure de symétrie d'échelle (autrement dit, de transition fractal-non fractal dans l'espace des échelles). En effet, il est aisé de
constater que pour E >> f- 1 , L devient de l'ordre de L1 et ne dépend plus
de la résolution, tandis que pour E << Àl, on récupère la dépendance
en échelle donnée par l'Eq. (2), asymptotiquement invariante d'échelle.
Or ce comportement (Eq. 5), qui satisfait donc au double principe de
relativité de la position (plus généralement, du mouvement) et d'échelle,
est précisément obtenu comme solution de la plus simple des équations
différentielles en échelle qu'on puisse écrire (équation du premier ordre,
ne dépendant que de L lui-même). Maintenant, cette dépendance de L
en fonction de l'échelle est développable en série de Taylor :
dL/dlnE = ~ (L) =a+ b L +...
(6)
où le cas précédent (Eq. 2) correspond à la simplification a = O. La solution
de l'Eq. (6), représentée fig. 4.16, est effectivement donnée par l'expression
(5), avec 't = -b, L 1 = -a/b, sachant que Àl est une constante d'intégration.
Noter que si l'on pousse plus loin le développement limité, on obtient
des solutions montrant plusieurs échelles de transition, en accord avec
le comportement observé de nombreux objets fractals naturels (Mandelbrot, 1975, 1982). En particulier, en allant jusqu'au deuxième ordre,
on trouve des structures fractales avec un eut-off inférieur et un eut-off
supérieur. On peut également obtenir des comportements dépendant
d'échelle vers les petites et les grandes échelles, mais qui en sont indépendants aux échelles intermédiaires.