4.4. La théorie de la relativité d'échelle
Dimension fractale constante :
relativité d'échelle «galiléenne»
365
Les lois de puissance rencontrées dans les comportements fractals
auto-similaires peuvent être identifiées comme les plus simples des lois
recherchées. Considérons en effet la plus simple des équations d'échelle
possibles, qui s'écrit comme une équation aux valeurs propres de l'opérateur de dilatation :
D~=bL
W
Sa solution est une loi fractale divergente standard :
L = Lo (À{)/E)t,
(2)
où 't = -b = DF-DT, expression dans laquelle Dp est la dimension fractale, supposée constante et DT la dimension topologique. La variable
L désigne la longueur mesurée sur une courbe fractale, qui décrira en
particulier une coordonnée dans un système de référence fractal. Une
telle loi correspond en ce qui concerne les échelles à ce qu'est l'inertie
du point de vue du mouvement. On peut s'en assurer facilement en lui
appliquant une transformation de résolution. Sous une telle transformation E ~ E', on obtient :
ln(L'/À) = ln(L/À) + 't ln(E/E') , 't' = 't,
(3)
où l'on reconnaît la structure mathématique du groupe de transformation de Galilée entre systèmes inertiels. La correspondance (mouvement ~ échelle) se traduit par les correspondances x ~ln(L/À), t ~'t, v
~ln(E/E'). La manifestation de la relativité des résolutions du point de
vue mathématique est ici remarquable : elles n'interviennent que par
leurs rapports et l'échelle de référence Ào a disparu dans la relation
(3). En accord avec l'analyse précédente du statut des résolutions en
physique, la dimension d'échelle joue pour les échelles le rôle joué par
le temps en ce qui concerne le mouvement, et le logarithme du rapport
des résolutions celui de la vitesse. La loi de composition des dilatations
écrite sous forme logarithmique confirme cette identification avec le
groupe de Galilée :
ln(E"/E) = ln(E'ÏE') + ln(EÏE),
(4)
formellement identique à la composition galiléenne des vitesses,
W = U+V.
Dimension fractale constante :
relativité d'échelle «galiléenne»
365
Les lois de puissance rencontrées dans les comportements fractals
auto-similaires peuvent être identifiées comme les plus simples des lois
recherchées. Considérons en effet la plus simple des équations d'échelle
possibles, qui s'écrit comme une équation aux valeurs propres de l'opérateur de dilatation :
D~=bL
W
Sa solution est une loi fractale divergente standard :
L = Lo (À{)/E)t,
(2)
où 't = -b = DF-DT, expression dans laquelle Dp est la dimension fractale, supposée constante et DT la dimension topologique. La variable
L désigne la longueur mesurée sur une courbe fractale, qui décrira en
particulier une coordonnée dans un système de référence fractal. Une
telle loi correspond en ce qui concerne les échelles à ce qu'est l'inertie
du point de vue du mouvement. On peut s'en assurer facilement en lui
appliquant une transformation de résolution. Sous une telle transformation E ~ E', on obtient :
ln(L'/À) = ln(L/À) + 't ln(E/E') , 't' = 't,
(3)
où l'on reconnaît la structure mathématique du groupe de transformation de Galilée entre systèmes inertiels. La correspondance (mouvement ~ échelle) se traduit par les correspondances x ~ln(L/À), t ~'t, v
~ln(E/E'). La manifestation de la relativité des résolutions du point de
vue mathématique est ici remarquable : elles n'interviennent que par
leurs rapports et l'échelle de référence Ào a disparu dans la relation
(3). En accord avec l'analyse précédente du statut des résolutions en
physique, la dimension d'échelle joue pour les échelles le rôle joué par
le temps en ce qui concerne le mouvement, et le logarithme du rapport
des résolutions celui de la vitesse. La loi de composition des dilatations
écrite sous forme logarithmique confirme cette identification avec le
groupe de Galilée :
ln(E"/E) = ln(E'ÏE') + ln(EÏE),
(4)
formellement identique à la composition galiléenne des vitesses,
W = U+V.