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4' partie: La théorie de la relativité d'échelle: formalisme mathématique
Lois de transformation d'échelle
Nous pouvons maintenant passer à l'étape suivante, et construire des
équations différentielles d'échelle ayant une signification physique, puis
chercher leurs solutions. Pour ce faire nous serons guidés par l'analogie
avec les lois du mouvement et par la contrainte que de telles équations
doivent satisfaire au principe de relativité d'échelle.
Nous retrouverons dans un premier temps le comportement fractal
auto-similaire à dimension constante. Dans une transformation d'échelle,
une telle loi possède la structure mathématique du groupe de Galilée,
et satisfait donc, de manière simple, au principe de relativité.
L'analogie avec le mouvement peut être poussée plus loin. On sait,
d'une part, que le groupe de Galilée n'est qu'une approximation du
groupe de Lorentz (correspondant à la limite où l'invariant c --7 oo) et
d'autre part que tous deux restent une description d'un comportement
inertiel (c'est-à-dire du mouvement libre soumis à aucune force), alors
que c'est avec la dynamique (qui prend en compte l'existence de forces)
que la physique du mouvement trouve toute sa complexité.
Il en est de même du point de vue des lois d'échelle. Les fractals de
dimension constante sont l'équivalent pour les échelles de ce qu'est l'inertie
galiléenne pour le mouvement. On peut alors proposer de généraliser
les lois de dilatation et de contraction usuelles de deux manières.
1. L'une consiste à introduire un groupe de Lorentz de transformation d'échelle (Nottale, 1992, 1993). Il y apparaît une échelle de
résolution finie, minimale ou maximale, invariante sous les dilatations, qui remplace le zéro ou l'infini tout en gardant les propriétés
physiques de ceux-ci. Nous avons proposé d'identifier ces échelles
respectivement à la longueur de Planck (Nottale, 1992) et à l'échelle
de la constante cosmologique (Nottale, 1993, 2003). Cette situation
correspond cependant toujours à une transformation d'échelle linéaire
sur les résolutions.
2. L'autre consiste à prendre en compte des transformations d'échelle
non-linéaires, c'est-à-dire à passer à une « dynamique d'échelle »
(Nottale 1997a) et, si possible, à une relativité généralisée d'échelle.
Ce sont des exemples de telles lois généralisées, que nous allons
considérer dans ce qui suit, après avoir retrouvé le comportement
fractal standard invariant d'échelle (et la brisure de cette symétrie)
comme solution des équations différentielles d'échelles les plus
simples possibles (du premier ordre).
4' partie: La théorie de la relativité d'échelle: formalisme mathématique
Lois de transformation d'échelle
Nous pouvons maintenant passer à l'étape suivante, et construire des
équations différentielles d'échelle ayant une signification physique, puis
chercher leurs solutions. Pour ce faire nous serons guidés par l'analogie
avec les lois du mouvement et par la contrainte que de telles équations
doivent satisfaire au principe de relativité d'échelle.
Nous retrouverons dans un premier temps le comportement fractal
auto-similaire à dimension constante. Dans une transformation d'échelle,
une telle loi possède la structure mathématique du groupe de Galilée,
et satisfait donc, de manière simple, au principe de relativité.
L'analogie avec le mouvement peut être poussée plus loin. On sait,
d'une part, que le groupe de Galilée n'est qu'une approximation du
groupe de Lorentz (correspondant à la limite où l'invariant c --7 oo) et
d'autre part que tous deux restent une description d'un comportement
inertiel (c'est-à-dire du mouvement libre soumis à aucune force), alors
que c'est avec la dynamique (qui prend en compte l'existence de forces)
que la physique du mouvement trouve toute sa complexité.
Il en est de même du point de vue des lois d'échelle. Les fractals de
dimension constante sont l'équivalent pour les échelles de ce qu'est l'inertie
galiléenne pour le mouvement. On peut alors proposer de généraliser
les lois de dilatation et de contraction usuelles de deux manières.
1. L'une consiste à introduire un groupe de Lorentz de transformation d'échelle (Nottale, 1992, 1993). Il y apparaît une échelle de
résolution finie, minimale ou maximale, invariante sous les dilatations, qui remplace le zéro ou l'infini tout en gardant les propriétés
physiques de ceux-ci. Nous avons proposé d'identifier ces échelles
respectivement à la longueur de Planck (Nottale, 1992) et à l'échelle
de la constante cosmologique (Nottale, 1993, 2003). Cette situation
correspond cependant toujours à une transformation d'échelle linéaire
sur les résolutions.
2. L'autre consiste à prendre en compte des transformations d'échelle
non-linéaires, c'est-à-dire à passer à une « dynamique d'échelle »
(Nottale 1997a) et, si possible, à une relativité généralisée d'échelle.
Ce sont des exemples de telles lois généralisées, que nous allons
considérer dans ce qui suit, après avoir retrouvé le comportement
fractal standard invariant d'échelle (et la brisure de cette symétrie)
comme solution des équations différentielles d'échelles les plus
simples possibles (du premier ordre).