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4' partie : La théorie de la relativité d'échelle :formalisme mathématique
Encadré 4.7 : Dilatation infinitésimale
Considérons la longueur d'une courbe non différentiable L(E). qui peut
représenter par exemple une coordonnée curviligne fractale L(x,E). Une
telle coordonnée généralise, à un espace-temps fractal et non différentiable, le concept de coordonnée curviligne introduite en relativité générale
d'Einstein pour les espace-temps courbes riemanniens.
Appliquons une dilatation infinitésimale E ~E'= E (1 +dp) à la résolution. On
omet la dépendance en x pour simplifier les notations, sachant que nous
nous intéressons pour le moment à de pures transformations d'échelle. On
obtient: L(E') = L(E+ E dp) = L(E) + [àL(E)/àE] E dp = (1+ Dd dp) L(E)
(1)
où Dd est par définition l'opérateur de dilatation.
La comparaison des deux derniers membres de cette équation donne la
forme de cet opérateur de dilatation : Dd = E à!àE =à/olnE.
(2)
Cette forme bien connue de l'opérateur infinitésimal de dilatation, obtenue
ici par l'application de la méthode dite de Geii-Mann-Levy, démontre définitivement que la variable « naturelle » en ce qui concerne les changements
de résolution est ln(E/À).
Aussi les équations différentielles d'échelle à construire vont bien
impliquer des expressions telles que dL(x,e)/dlne. Quelle forme vont
prendre ces équations ?
Dans sa forme la plus simple, on peut obtenir une telle équation différentielle d'échelle en exprimant que la variation de L sous une transformation d'échelle infinitésimale dlne ne dépend que de L lui-même.
Autrement dit, L détermine son propre comportement physique, en
particulier sous les transformations d'échelle. Ceci s'écrit :
dL(x,e)/dlne = ~ (L).
Une telle équation (et ses généralisations), dont nous allons analyser
plus à fond le comportement dans ce qui suit, n'est rien d'autre que
l'équivalent différentiel de ce que sont les générateurs dans le cas des
objets fractals construits par itérations, comme par exemple la courbe
de von Koch (Mandelbrot, 1975, 1982).
Mais au lieu de passer d'une étape à la suivante de la construction à
l'aide de dilatations finies discrètes (des facteurs 3 successifs dans le cas
de la courbe de von Koch), on passe de ln(e/À) à ln(e/À) + dln(e/À). En
d'autres termes, le calcul différentiel effectué dans l'espace des échelles
permet de décrire un comportement non différentiable (à la limite) par
des équations différentielles.
4' partie : La théorie de la relativité d'échelle :formalisme mathématique
Encadré 4.7 : Dilatation infinitésimale
Considérons la longueur d'une courbe non différentiable L(E). qui peut
représenter par exemple une coordonnée curviligne fractale L(x,E). Une
telle coordonnée généralise, à un espace-temps fractal et non différentiable, le concept de coordonnée curviligne introduite en relativité générale
d'Einstein pour les espace-temps courbes riemanniens.
Appliquons une dilatation infinitésimale E ~E'= E (1 +dp) à la résolution. On
omet la dépendance en x pour simplifier les notations, sachant que nous
nous intéressons pour le moment à de pures transformations d'échelle. On
obtient: L(E') = L(E+ E dp) = L(E) + [àL(E)/àE] E dp = (1+ Dd dp) L(E)
(1)
où Dd est par définition l'opérateur de dilatation.
La comparaison des deux derniers membres de cette équation donne la
forme de cet opérateur de dilatation : Dd = E à!àE =à/olnE.
(2)
Cette forme bien connue de l'opérateur infinitésimal de dilatation, obtenue
ici par l'application de la méthode dite de Geii-Mann-Levy, démontre définitivement que la variable « naturelle » en ce qui concerne les changements
de résolution est ln(E/À).
Aussi les équations différentielles d'échelle à construire vont bien
impliquer des expressions telles que dL(x,e)/dlne. Quelle forme vont
prendre ces équations ?
Dans sa forme la plus simple, on peut obtenir une telle équation différentielle d'échelle en exprimant que la variation de L sous une transformation d'échelle infinitésimale dlne ne dépend que de L lui-même.
Autrement dit, L détermine son propre comportement physique, en
particulier sous les transformations d'échelle. Ceci s'écrit :
dL(x,e)/dlne = ~ (L).
Une telle équation (et ses généralisations), dont nous allons analyser
plus à fond le comportement dans ce qui suit, n'est rien d'autre que
l'équivalent différentiel de ce que sont les générateurs dans le cas des
objets fractals construits par itérations, comme par exemple la courbe
de von Koch (Mandelbrot, 1975, 1982).
Mais au lieu de passer d'une étape à la suivante de la construction à
l'aide de dilatations finies discrètes (des facteurs 3 successifs dans le cas
de la courbe de von Koch), on passe de ln(e/À) à ln(e/À) + dln(e/À). En
d'autres termes, le calcul différentiel effectué dans l'espace des échelles
permet de décrire un comportement non différentiable (à la limite) par
des équations différentielles.