4.4. La théorie de la relativité d'échelle
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donné sera complètement décrite si l'on parvient à connaître f(x,e), qui
reste différentiable (en x et en e) pour toutes les valeurs finies de f.. Une
telle fonction à deux variables (qui s'écrit plus précisément, pour être
complet, f(x(e),e) en prenant en compte le fait que la coordonnée ellemême peut devenir une fonction fractale) peut être solution d'équations
différentielles impliquant Jf(x,e)/Jx mais aussi Jf(x,e)/Je.
On peut noter dès maintenant, de ce point de vue, que la variable
d'échelle signifiante, dans ces équations différentielles, est le logarithme
de la résolution, ln(E/À). Ceci peut se justifier mathématiquement (voir
encadré 4.7), mais peut également être compris de manière intuitive :
par exemple, quand on zoome avec un caméscope, un grossissement
continu correspond, non pas à des facteurs 2, 3, 4, 5, etc. (ce qui figerait
l'image), mais à 2, 4, 8, 16, 32, etc. Il est d'ailleurs remarquable que, E étant
dimensionné, le passage au logarithme implique l'introduction d'une
échelle de référence À, ce qui manifeste une fois de plus la relativité
fondamentale des échelles, qui n'ont de sens physique que dans leurs
rapports. (Notons que dans la suite nous serons amenés, pour simplifier
les notations, à écrire l'élément différentiel dans l'espace des échelles
dlnE au lieu de l'expression plus correcte dln(E/À), en se fondant sur le
fait que À, étant une constante, n'intervient plus dans la dérivation).
Plus généralement, on sera amené à prendre en compte des lois nonlinéaires, du point de vue du mouvement comme des changements
d'échelle. Dans le cas des lois du mouvement, il s'agit du passage des
simples lois du mouvement inertiel à la dynamique Newtonienne. Dans
le cas des lois d'échelle, par analogie, une « dynamique d'échelle » peut
être proposée comme généralisation aux lois fractales auto-similaires à
dimension fractale constante (qui sont aux échelles ce que l'inertie est
au mouvement.)
Dans une telle généralisation, les équations de la physique vont
prendre la forme d'équations aux dérivées partielles du deuxième ordre,
qui contiendront donc, en plus des dérivées premières, des opérateurs
tels que J 2 /Jx 2 (lois du mouvement), J 2 /J(lnE) 2 (lois d'échelle), mais aussi
J 2 /JxJlnE, qui décriront le couplage entre échelle et mouvement. Ce point
sera brièvement évoqué dans la suite : il mène à une nouvelle possibilité
de compréhension des champs de jauge en termes géométriques.
Quelle est la signification physique de la différentielle Jj(x,E)/JlnE ?
Ce n'est rien d'autre que la variation de la grandeur physique f sous une
transformation d'échelle infinitésimale lnE -> lnE + dlnE, c'est-à-dire
sous une dilatation ou contraction infinitésimale de résolution (voir
encadré 4.7).
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donné sera complètement décrite si l'on parvient à connaître f(x,e), qui
reste différentiable (en x et en e) pour toutes les valeurs finies de f.. Une
telle fonction à deux variables (qui s'écrit plus précisément, pour être
complet, f(x(e),e) en prenant en compte le fait que la coordonnée ellemême peut devenir une fonction fractale) peut être solution d'équations
différentielles impliquant Jf(x,e)/Jx mais aussi Jf(x,e)/Je.
On peut noter dès maintenant, de ce point de vue, que la variable
d'échelle signifiante, dans ces équations différentielles, est le logarithme
de la résolution, ln(E/À). Ceci peut se justifier mathématiquement (voir
encadré 4.7), mais peut également être compris de manière intuitive :
par exemple, quand on zoome avec un caméscope, un grossissement
continu correspond, non pas à des facteurs 2, 3, 4, 5, etc. (ce qui figerait
l'image), mais à 2, 4, 8, 16, 32, etc. Il est d'ailleurs remarquable que, E étant
dimensionné, le passage au logarithme implique l'introduction d'une
échelle de référence À, ce qui manifeste une fois de plus la relativité
fondamentale des échelles, qui n'ont de sens physique que dans leurs
rapports. (Notons que dans la suite nous serons amenés, pour simplifier
les notations, à écrire l'élément différentiel dans l'espace des échelles
dlnE au lieu de l'expression plus correcte dln(E/À), en se fondant sur le
fait que À, étant une constante, n'intervient plus dans la dérivation).
Plus généralement, on sera amené à prendre en compte des lois nonlinéaires, du point de vue du mouvement comme des changements
d'échelle. Dans le cas des lois du mouvement, il s'agit du passage des
simples lois du mouvement inertiel à la dynamique Newtonienne. Dans
le cas des lois d'échelle, par analogie, une « dynamique d'échelle » peut
être proposée comme généralisation aux lois fractales auto-similaires à
dimension fractale constante (qui sont aux échelles ce que l'inertie est
au mouvement.)
Dans une telle généralisation, les équations de la physique vont
prendre la forme d'équations aux dérivées partielles du deuxième ordre,
qui contiendront donc, en plus des dérivées premières, des opérateurs
tels que J 2 /Jx 2 (lois du mouvement), J 2 /J(lnE) 2 (lois d'échelle), mais aussi
J 2 /JxJlnE, qui décriront le couplage entre échelle et mouvement. Ce point
sera brièvement évoqué dans la suite : il mène à une nouvelle possibilité
de compréhension des champs de jauge en termes géométriques.
Quelle est la signification physique de la différentielle Jj(x,E)/JlnE ?
Ce n'est rien d'autre que la variation de la grandeur physique f sous une
transformation d'échelle infinitésimale lnE -> lnE + dlnE, c'est-à-dire
sous une dilatation ou contraction infinitésimale de résolution (voir
encadré 4.7).