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4' partie : La théorie de la relativité d'échelle :formalisme mathématique
mesure, etc. Du point de vue théorique, il s'agit tout simplement des
éléments différentiels eux-mêmes.
Ceci signifie qu'une grandeur physique f, qui dépend ordinairement
des variables spatio-temporelles x, i.e., f = f(x), doit maintenant être décrite
comme dépendant aussi de manière explicite de la résolution E, f = f(x,E).
Un tel point de vue est particulièrement bien adapté aux applications
en physique (et plus généralement dans toute science s'appuyant sur
des mesures) : en effet, toute mesure effective est toujours effectuée à
une résolution finie.
Le problème de la description physique de tous les processus où
intervient une telle fonction fest maintenant posé autrement. Dans
la physique différentiable standard, il s'agit de trouver les équations
différentielles qui mettent en oeuvre les dérivées de f par rapport aux
COOrdonnées spatio-temporelles X, c'est-à-dire apax, ay;ax 2 , etc., dérivées
qui vont intervenir dans les lois du déplacement et du mouvement. La
méthode intégro-différentielle consiste, comme on l'a vu (encadré 4.6),
à effectuer une telle description locale des déplacements spatio-temporels élémentaires, puis de leurs effets sur les quantités physiques, puis
enfin à intégrer pour obtenir les propriétés à grande échelle du système
considéré. Une telle méthode a pu être taxée de réductionniste : elle est
effectivement adaptée aux problèmes classiques dans lesquelles aucune
information nouvelle n'apparaît quand on change d'échelle.
La situation est complètement différente en ce qui concerne les
systèmes caractérisés par une géométrie fractale et/ou par la nondifférentiabilité. Dans de tels cas, une information nouvelle apparaît
quand on change d'échelle, et le projet consistant à vouloir réduire le
comportement du système à une échelle donnée (en général grande) à
partir de la description faite à une autre échelle (en général, la plus petite
échelle possible, dx -7 0) semble perdre tout sens et devenir alors sans
espoir. La proposition faite en relativité d'échelle consiste précisément à
renoncer à cet espoir et à introduire un nouveau cadre de pensée dans
lequel toutes les échelles coexistent à l'intérieur d'un espace des échelles, qui
reste relatif, et sont reliées entre elles à travers des équations différentielles
d'échelle.
Équations différentielles d'échelle
En effet, en physique non différentiable, la dérivée ordinaire d'une
fonction dans sa définition standard, aj(x)!ax = aj(x,O)/ax (qui est la dérivée de la fonction fractale pour un intervalle de résolution nul, c'est-àdire à résolution infinie) n'existe plus. Mais la physique d'un processus
4' partie : La théorie de la relativité d'échelle :formalisme mathématique
mesure, etc. Du point de vue théorique, il s'agit tout simplement des
éléments différentiels eux-mêmes.
Ceci signifie qu'une grandeur physique f, qui dépend ordinairement
des variables spatio-temporelles x, i.e., f = f(x), doit maintenant être décrite
comme dépendant aussi de manière explicite de la résolution E, f = f(x,E).
Un tel point de vue est particulièrement bien adapté aux applications
en physique (et plus généralement dans toute science s'appuyant sur
des mesures) : en effet, toute mesure effective est toujours effectuée à
une résolution finie.
Le problème de la description physique de tous les processus où
intervient une telle fonction fest maintenant posé autrement. Dans
la physique différentiable standard, il s'agit de trouver les équations
différentielles qui mettent en oeuvre les dérivées de f par rapport aux
COOrdonnées spatio-temporelles X, c'est-à-dire apax, ay;ax 2 , etc., dérivées
qui vont intervenir dans les lois du déplacement et du mouvement. La
méthode intégro-différentielle consiste, comme on l'a vu (encadré 4.6),
à effectuer une telle description locale des déplacements spatio-temporels élémentaires, puis de leurs effets sur les quantités physiques, puis
enfin à intégrer pour obtenir les propriétés à grande échelle du système
considéré. Une telle méthode a pu être taxée de réductionniste : elle est
effectivement adaptée aux problèmes classiques dans lesquelles aucune
information nouvelle n'apparaît quand on change d'échelle.
La situation est complètement différente en ce qui concerne les
systèmes caractérisés par une géométrie fractale et/ou par la nondifférentiabilité. Dans de tels cas, une information nouvelle apparaît
quand on change d'échelle, et le projet consistant à vouloir réduire le
comportement du système à une échelle donnée (en général grande) à
partir de la description faite à une autre échelle (en général, la plus petite
échelle possible, dx -7 0) semble perdre tout sens et devenir alors sans
espoir. La proposition faite en relativité d'échelle consiste précisément à
renoncer à cet espoir et à introduire un nouveau cadre de pensée dans
lequel toutes les échelles coexistent à l'intérieur d'un espace des échelles, qui
reste relatif, et sont reliées entre elles à travers des équations différentielles
d'échelle.
Équations différentielles d'échelle
En effet, en physique non différentiable, la dérivée ordinaire d'une
fonction dans sa définition standard, aj(x)!ax = aj(x,O)/ax (qui est la dérivée de la fonction fractale pour un intervalle de résolution nul, c'est-àdire à résolution infinie) n'existe plus. Mais la physique d'un processus