4.4. La théorie de la relativité d'échelle
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La non-différentiabilité n'est rien d'autre que la non-existence de cette
limite. Mais on peut remarquer qu'un passage effectif à la limite est
en réalité physiquement impossible. En effet, l'atteindre effectivement
nécessiterait une énergie infinie d'après la relation temps-énergie de
Heisenberg. La méthode de la théorie de la relativité d'échelle consiste
alors tout simplement à toujours considérer des éléments différentiels
de plus en plus petits et tendant vers zéro, mais sans passer à la limite.
Au lieu de se placer uniquement à la limite dt = 0 comme dans le calcul
différentiel ordinaire, on garde toute l'information de ce qui se passe
pendant que dt tend vers 0, en faisant de l'élément différentiel dt, qui
représente la résolution du point de vue théorique (elle résulte d'un
découpage de plus en plus fin de l'intervalle de temps t), une variable
explicite.
Une coordonnée x(t) devient alors une coordonnée fractale x(t,dt), et
la vitesse est redéfinie comme v(t,dt), fonction explicitement dépendante
de la « variable d'échelle » dt. On résout ainsi le problème en ne cherchant plus à passer à la limite, mais seulement à suivre le comportement
de cette fonction quand on va vers la limite, c'est-à-dire au cours des
zooms successifs sur l'intervalle dt (de même qu'on peut se diriger vers
un horizon sans jamais l'atteindre). L'intérêt d'une telle méthode est, de
plus, que quand la fonction considérée est différentiable, on la retrouve
comme cas particulier pour dt = 0, v(t,O), de la nouvelle fonction à deux
variables, v(t,dt). Autrement dit, la nouvelle représentation, résultant
d'une généralisation, contient la précédente comme cas particulier, ce
qui signifie qu'il ne saurait y avoir de contradiction ou d'opposition
entre elle et le calcul différentiel ordinaire. On peut même remarquer
que cette nouvelle forme de calcul différentiel est (par construction)
beaucoup plus proche de la vraie pratique en physique que ne l'était la
définition usuelle avec passage à la limite.
Description de processus non différentiables
par des équations différentielles
Ce résultat est une clé pour permettre la description de processus
non différentiables à l'aide d'équations différentielles. Il mène en effet
à introduire des variables d'échelle de manière explicite dans l'expression des
diverses quantités physiques ainsi que dans les équations fondamentales
de la physique. Du point de vue expérimental, ces variables d'échelle
(appelées « résolutions » en un sens général) peuvent être le pixel d'une
image, la résolution de l'appareil de mesure, l'incertitude finale d'une
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La non-différentiabilité n'est rien d'autre que la non-existence de cette
limite. Mais on peut remarquer qu'un passage effectif à la limite est
en réalité physiquement impossible. En effet, l'atteindre effectivement
nécessiterait une énergie infinie d'après la relation temps-énergie de
Heisenberg. La méthode de la théorie de la relativité d'échelle consiste
alors tout simplement à toujours considérer des éléments différentiels
de plus en plus petits et tendant vers zéro, mais sans passer à la limite.
Au lieu de se placer uniquement à la limite dt = 0 comme dans le calcul
différentiel ordinaire, on garde toute l'information de ce qui se passe
pendant que dt tend vers 0, en faisant de l'élément différentiel dt, qui
représente la résolution du point de vue théorique (elle résulte d'un
découpage de plus en plus fin de l'intervalle de temps t), une variable
explicite.
Une coordonnée x(t) devient alors une coordonnée fractale x(t,dt), et
la vitesse est redéfinie comme v(t,dt), fonction explicitement dépendante
de la « variable d'échelle » dt. On résout ainsi le problème en ne cherchant plus à passer à la limite, mais seulement à suivre le comportement
de cette fonction quand on va vers la limite, c'est-à-dire au cours des
zooms successifs sur l'intervalle dt (de même qu'on peut se diriger vers
un horizon sans jamais l'atteindre). L'intérêt d'une telle méthode est, de
plus, que quand la fonction considérée est différentiable, on la retrouve
comme cas particulier pour dt = 0, v(t,O), de la nouvelle fonction à deux
variables, v(t,dt). Autrement dit, la nouvelle représentation, résultant
d'une généralisation, contient la précédente comme cas particulier, ce
qui signifie qu'il ne saurait y avoir de contradiction ou d'opposition
entre elle et le calcul différentiel ordinaire. On peut même remarquer
que cette nouvelle forme de calcul différentiel est (par construction)
beaucoup plus proche de la vraie pratique en physique que ne l'était la
définition usuelle avec passage à la limite.
Description de processus non différentiables
par des équations différentielles
Ce résultat est une clé pour permettre la description de processus
non différentiables à l'aide d'équations différentielles. Il mène en effet
à introduire des variables d'échelle de manière explicite dans l'expression des
diverses quantités physiques ainsi que dans les équations fondamentales
de la physique. Du point de vue expérimental, ces variables d'échelle
(appelées « résolutions » en un sens général) peuvent être le pixel d'une
image, la résolution de l'appareil de mesure, l'incertitude finale d'une