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4' partie: La théorie de la relativité d'échelle : formalisme mathématique
différentielles. Ainsi, la deuxième étape de la construction de la théorie
consiste à retrouver l'outil physico-mathématique qui semblait avoir été
perdu dans une telle généralisation, par l'élaboration d'un double calcul
différentiel (dans l'espace ordinaire et dans l'espace des échelles).
Encadré 4.6 : Équations différentielles
La plupart des équations de la physique s'écrivent sous forme d'équations
différentielles. Celles-ci mettent en œuvre la méthode cartésienne consistant
à diviser un système complexe, indescriptible directement dans sa globalité,
en petites parties plus simples dont les relations entre elles et avec des
effets extérieurs sont, elles, possibles à décrire. Les caractéristiques du
système dans son ensemble sont alors obtenues par une intégration de
ces équations. Par exemple, ayant considéré un petit déplacement dans
l'espace entre x et x+ dx, où dx est un élément différentiel tendant vers 0,
la manière dont une grandeur physique f(x) varie dans un tel déplacement
infinitésimal (elle devient f + df) sera décrite par une équation différentielle,
impliquant la dérivée première df!dx, seconde d 2 f!dx"2, etc.
Il est remarquable que les solutions de telles équations peuvent montrer
une grande diversité incluant des caractéristiques nouvelles par rapport à
l'équation elle-même, du fait du processus d'intégration.
Dépendance des coordonnées
en fonction des résolutions
Cette possibilité résulte du théorème suivant (Nottale, 1993), lui même
conséquence d'un théorème du mathématicien Lebesgue :
Une courbe continue, mais partout ou presque partout non dérivable, possède
une longueur dépendant explicitement de la résolution à laquelle on la considère,
et tendant vers l'infini quand l'intervalle de résolution tend vers zéro.
Autrement dit, une telle courbe est fractale au sens général donné par
Mandelbrot (1975, 1982) à ce terme. Appliqué à un système de coordonnées d'un espace-temps non différentiable, ce théorème implique une
géométrie fractale (Nottale et Schneider, 1984 ; Ord, 1983 ; Nottale,
1989, 1993) pour l'espace-temps, aussi bien que pour le référentiel. De
plus, c'est la dépendance en fonction des résolutions elles-mêmes qui
résout le problème posé. Considérons en effet la définition de la dérivée,
appliquée par exemple à une coordonnée (ce qui définit la vitesse) :
v(t) = lim dt~ o [x(t+dt)-x(t)]/dt
4' partie: La théorie de la relativité d'échelle : formalisme mathématique
différentielles. Ainsi, la deuxième étape de la construction de la théorie
consiste à retrouver l'outil physico-mathématique qui semblait avoir été
perdu dans une telle généralisation, par l'élaboration d'un double calcul
différentiel (dans l'espace ordinaire et dans l'espace des échelles).
Encadré 4.6 : Équations différentielles
La plupart des équations de la physique s'écrivent sous forme d'équations
différentielles. Celles-ci mettent en œuvre la méthode cartésienne consistant
à diviser un système complexe, indescriptible directement dans sa globalité,
en petites parties plus simples dont les relations entre elles et avec des
effets extérieurs sont, elles, possibles à décrire. Les caractéristiques du
système dans son ensemble sont alors obtenues par une intégration de
ces équations. Par exemple, ayant considéré un petit déplacement dans
l'espace entre x et x+ dx, où dx est un élément différentiel tendant vers 0,
la manière dont une grandeur physique f(x) varie dans un tel déplacement
infinitésimal (elle devient f + df) sera décrite par une équation différentielle,
impliquant la dérivée première df!dx, seconde d 2 f!dx"2, etc.
Il est remarquable que les solutions de telles équations peuvent montrer
une grande diversité incluant des caractéristiques nouvelles par rapport à
l'équation elle-même, du fait du processus d'intégration.
Dépendance des coordonnées
en fonction des résolutions
Cette possibilité résulte du théorème suivant (Nottale, 1993), lui même
conséquence d'un théorème du mathématicien Lebesgue :
Une courbe continue, mais partout ou presque partout non dérivable, possède
une longueur dépendant explicitement de la résolution à laquelle on la considère,
et tendant vers l'infini quand l'intervalle de résolution tend vers zéro.
Autrement dit, une telle courbe est fractale au sens général donné par
Mandelbrot (1975, 1982) à ce terme. Appliqué à un système de coordonnées d'un espace-temps non différentiable, ce théorème implique une
géométrie fractale (Nottale et Schneider, 1984 ; Ord, 1983 ; Nottale,
1989, 1993) pour l'espace-temps, aussi bien que pour le référentiel. De
plus, c'est la dépendance en fonction des résolutions elles-mêmes qui
résout le problème posé. Considérons en effet la définition de la dérivée,
appliquée par exemple à une coordonnée (ce qui définit la vitesse) :
v(t) = lim dt~ o [x(t+dt)-x(t)]/dt