4.4. La théorie de la relativité d'échelle
357
Abandon de l'hypothèse
de différentiabilité de l'espace-temps
Si l'on analyse l'état de la physique fondée sur le principe de relativité jusqu'à Einstein, on constate que c'est l'ensemble de la physique
classique, y compris la théorie de la gravitation à travers la relativité
généralisée du mouvement, qui est fondée sur ce principe. La physique quantique, bien que compatible avec les relativités galiléenne et
restreinte du mouvement, semble y échapper en ce qui concerne ses
fondations. On peut alors se demander si une nouvelle généralisation
de la relativité qui inclurait dans ses conséquences les effets quantiques
reste possible. Or généraliser la relativité, c'est généraliser les transformations envisageables entre systèmes de coordonnées, donc la définition de ce
que sont les systèmes de référence possibles, et finalement les concepts
d'espace et d'espace-temps. La relativité générale d'Einstein repose sur
l'hypothèse que l'espace-temps est riemannien, c'est-à-dire descriptible
par une variété au moins deux fois différentiable : autrement dit, on
peut définir un continuum d'événements spatio-temporels, puis des
vitesses qui sont leurs dérivées, puis des accélérations par une nouvelle
dérivation. Dans ce cadre, les équations d'Einstein sont les plus générales des équations les plus simples qui soient covariantes (c'est-à-dire
invariantes de forme) dans des transformations de coordonnées deux
fois différentiables (voir encadré 4.5).
De même que le passage de la relativité restreinte à la relativité généralisée est permis par un abandon d'hypothèse restrictive, celle de la
«platitude» (son caractère euclidien ou pseudo-euclidien) de l'espacetemps à travers la prise en considération d'espaces-temps courbes, une
nouvelle ouverture est donc possible par l'abandon de l'hypothèse de
différentiabilité. Il s'agira de décrire un continuum spatio-temporel qui
ne soit plus forcément partout ou presque partout différentiable.
Espace-temps fractal
L'outil essentiel de la physique, depuis Galilée, Leibniz et Newton,
ce sont les équations différentielles (voir encadré 4.6). Abandonner l'hypothèse de la différentiabilité de l'espace-temps, donc des systèmes de
coordonnées et des transformations entre ces systèmes, n'est-ce pas
abandonner les équations différentielles ?
Ce problème crucial peut en fait être contourné grâce à l'intervention
du concept de géométries fractales en physique de l'espace-temps. Par
leur biais, on peut traiter de non-différentiabilité à l'aide d'équations
357
Abandon de l'hypothèse
de différentiabilité de l'espace-temps
Si l'on analyse l'état de la physique fondée sur le principe de relativité jusqu'à Einstein, on constate que c'est l'ensemble de la physique
classique, y compris la théorie de la gravitation à travers la relativité
généralisée du mouvement, qui est fondée sur ce principe. La physique quantique, bien que compatible avec les relativités galiléenne et
restreinte du mouvement, semble y échapper en ce qui concerne ses
fondations. On peut alors se demander si une nouvelle généralisation
de la relativité qui inclurait dans ses conséquences les effets quantiques
reste possible. Or généraliser la relativité, c'est généraliser les transformations envisageables entre systèmes de coordonnées, donc la définition de ce
que sont les systèmes de référence possibles, et finalement les concepts
d'espace et d'espace-temps. La relativité générale d'Einstein repose sur
l'hypothèse que l'espace-temps est riemannien, c'est-à-dire descriptible
par une variété au moins deux fois différentiable : autrement dit, on
peut définir un continuum d'événements spatio-temporels, puis des
vitesses qui sont leurs dérivées, puis des accélérations par une nouvelle
dérivation. Dans ce cadre, les équations d'Einstein sont les plus générales des équations les plus simples qui soient covariantes (c'est-à-dire
invariantes de forme) dans des transformations de coordonnées deux
fois différentiables (voir encadré 4.5).
De même que le passage de la relativité restreinte à la relativité généralisée est permis par un abandon d'hypothèse restrictive, celle de la
«platitude» (son caractère euclidien ou pseudo-euclidien) de l'espacetemps à travers la prise en considération d'espaces-temps courbes, une
nouvelle ouverture est donc possible par l'abandon de l'hypothèse de
différentiabilité. Il s'agira de décrire un continuum spatio-temporel qui
ne soit plus forcément partout ou presque partout différentiable.
Espace-temps fractal
L'outil essentiel de la physique, depuis Galilée, Leibniz et Newton,
ce sont les équations différentielles (voir encadré 4.6). Abandonner l'hypothèse de la différentiabilité de l'espace-temps, donc des systèmes de
coordonnées et des transformations entre ces systèmes, n'est-ce pas
abandonner les équations différentielles ?
Ce problème crucial peut en fait être contourné grâce à l'intervention
du concept de géométries fractales en physique de l'espace-temps. Par
leur biais, on peut traiter de non-différentiabilité à l'aide d'équations