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4' partie : LA théorie de la relativité d'échelle :formalisme mathématique
Introduction
La théorie de la relativité d'échelle (Nottale, 1989, 1992, 1993, 2002)
consiste à généraliser le principe de relativité en l'appliquant, non
seulement au mouvement, mais aussi aux transformations d'échelle
(en particulier aux transformations des résolutions spatio-temporelles). Dans la formulation d'Einstein, le principe de relativité consiste
à affirmer que les lois fondamentales de la nature doivent être valides
dans tout système de coordonnées, quel que soit son état. Comme on l'a
vu, depuis Galilée, ce principe avait été appliqué aux états de position
(origine et orientation des axes) et de mouvement (vitesse, accélération)
du système de coordonnées, états qui ont la propriété de n'être jamais
définissables de manière absolue, mais seulement de manière relative.
L'état d'un système de référence ne peut être défini que par rapport à
un autre repère.
Il en est de même en ce qui concerne les changements d'échelle.
L'échelle d'un système ne peut être définie que par rapport à un autre
système, et possède donc bien la propriété fondamentale de relativité :
seuls des rapports d'échelle ont un sens, jamais une échelle absolue. Dans
la nouvelle approche, on réinterprète les résolutions, non plus seulement
comme propriété de l'appareil de mesure et/ou du système mesuré,
mais comme propriété géométriques de l'espace-temps, caractérisant l'état
d'échelle du référentiel au même titre que les vitesses caractérisent son
état de mouvement. Ainsi l'ensemble des résolutions définit un véritable
espace des échelles, de même que les positions et les instants définissent
l'espace-temps standard. Le principe de relativité d'échelle consiste alors
à affirmer que les lois fondamentales de la nature s'appliquent quel que
soit l'état d'échelle du système de coordonnées.
Quelle est la nécessité d'ajouter un tel principe premier à la physique
fondamentale ? Il s'impose dès l'instant où l'on veut généraliser la description actuelle de l'espace et du temps. Celle-ci se cantonne en général à
des variétés différentiables (même si des singularités sont possibles en
certains points particuliers). Une voie de généralisation de la physique
actuelle consiste donc à tenter d'abandonner l'hypothèse de différentiabilité des coordonnées spatio-temporelles, qui était à la base de la
relativité restreinte et générale d'Einstein et de toute la physique. Comme
nous allons le constater, la conséquence principale d'un tel abandon est
que l'espace-temps devient fractal, au sens où il acquiert une dépendance
explicite (qui va jusqu'à la divergence) en fonction des résolutions spaHo-temporelles.
4' partie : LA théorie de la relativité d'échelle :formalisme mathématique
Introduction
La théorie de la relativité d'échelle (Nottale, 1989, 1992, 1993, 2002)
consiste à généraliser le principe de relativité en l'appliquant, non
seulement au mouvement, mais aussi aux transformations d'échelle
(en particulier aux transformations des résolutions spatio-temporelles). Dans la formulation d'Einstein, le principe de relativité consiste
à affirmer que les lois fondamentales de la nature doivent être valides
dans tout système de coordonnées, quel que soit son état. Comme on l'a
vu, depuis Galilée, ce principe avait été appliqué aux états de position
(origine et orientation des axes) et de mouvement (vitesse, accélération)
du système de coordonnées, états qui ont la propriété de n'être jamais
définissables de manière absolue, mais seulement de manière relative.
L'état d'un système de référence ne peut être défini que par rapport à
un autre repère.
Il en est de même en ce qui concerne les changements d'échelle.
L'échelle d'un système ne peut être définie que par rapport à un autre
système, et possède donc bien la propriété fondamentale de relativité :
seuls des rapports d'échelle ont un sens, jamais une échelle absolue. Dans
la nouvelle approche, on réinterprète les résolutions, non plus seulement
comme propriété de l'appareil de mesure et/ou du système mesuré,
mais comme propriété géométriques de l'espace-temps, caractérisant l'état
d'échelle du référentiel au même titre que les vitesses caractérisent son
état de mouvement. Ainsi l'ensemble des résolutions définit un véritable
espace des échelles, de même que les positions et les instants définissent
l'espace-temps standard. Le principe de relativité d'échelle consiste alors
à affirmer que les lois fondamentales de la nature s'appliquent quel que
soit l'état d'échelle du système de coordonnées.
Quelle est la nécessité d'ajouter un tel principe premier à la physique
fondamentale ? Il s'impose dès l'instant où l'on veut généraliser la description actuelle de l'espace et du temps. Celle-ci se cantonne en général à
des variétés différentiables (même si des singularités sont possibles en
certains points particuliers). Une voie de généralisation de la physique
actuelle consiste donc à tenter d'abandonner l'hypothèse de différentiabilité des coordonnées spatio-temporelles, qui était à la base de la
relativité restreinte et générale d'Einstein et de toute la physique. Comme
nous allons le constater, la conséquence principale d'un tel abandon est
que l'espace-temps devient fractal, au sens où il acquiert une dépendance
explicite (qui va jusqu'à la divergence) en fonction des résolutions spaHo-temporelles.