4.4
La théorie de la relativité
d'échelle
Le principe de relativité d'échelle est une extension aux changements
d'échelle du principe de relativité. Un tel concept s'impose comme principe premier contraignant la description d'un espace-temps continu non
différentiable. Ici, la non-différentiabilité ne signifie pas qu'on ne puisse
différentier: le postulat de continuité, qui est gardé dans cette approche,
implique qu'on puisse toujours définir des éléments différentiels. Son
sens est que le rapport de tels éléments différentiels, comme dans la
définition de la vitesse v = dx/dt, peut ne pas être défini quand on fait
tendre dt vers zéro et qu'on passe à la limite dt = 0 (qu'il devienne infini
ou qu'il fluctue indéfiniment). C'est donc la dérivée qui n'est plus définie
au sens ordinaire dans un espace-temps non différentiable.
Cet abandon de l'hypothèse de différentiabilité implique, quand on
garde la continuité, une dépendance explicite des coordonnées en fonction
des résolutions, autrement dit une géométrie fractale pour l'espace-temps. En
conséquence, la description physique d'un tel espace-temps n'implique
pas pour autant l'abandon des équations différentielles, à condition
que celles-ci agissent également dans l'« espace des échelles », qui est
l'espace des résolutions (voir plus loin). Comme on le verra dans l'exposé qui suit (Nottale, 2001, 2002), différents niveaux de descriptions
des lois d'échelles physiquement possibles (invariantes d'échelles, puis
covariantes d'échelle, ce qui signifie une invariance de forme des lois
d'échelle) peuvent alors être proposés, depuis l'autosimilarité la plus
simple jusqu'à des lois d'échelle non linéaires (« dynamique d'échelle »),
en incluant les couplages échelle-mouvement qu'on identifie aux transformations de jauge (qu'on évoquera plus loin). Les effets induits par les
structures internes non différentiables sur la dynamique transforment
alors la mécanique classique en une mécanique de type quantique ...
La théorie de la relativité
d'échelle
Le principe de relativité d'échelle est une extension aux changements
d'échelle du principe de relativité. Un tel concept s'impose comme principe premier contraignant la description d'un espace-temps continu non
différentiable. Ici, la non-différentiabilité ne signifie pas qu'on ne puisse
différentier: le postulat de continuité, qui est gardé dans cette approche,
implique qu'on puisse toujours définir des éléments différentiels. Son
sens est que le rapport de tels éléments différentiels, comme dans la
définition de la vitesse v = dx/dt, peut ne pas être défini quand on fait
tendre dt vers zéro et qu'on passe à la limite dt = 0 (qu'il devienne infini
ou qu'il fluctue indéfiniment). C'est donc la dérivée qui n'est plus définie
au sens ordinaire dans un espace-temps non différentiable.
Cet abandon de l'hypothèse de différentiabilité implique, quand on
garde la continuité, une dépendance explicite des coordonnées en fonction
des résolutions, autrement dit une géométrie fractale pour l'espace-temps. En
conséquence, la description physique d'un tel espace-temps n'implique
pas pour autant l'abandon des équations différentielles, à condition
que celles-ci agissent également dans l'« espace des échelles », qui est
l'espace des résolutions (voir plus loin). Comme on le verra dans l'exposé qui suit (Nottale, 2001, 2002), différents niveaux de descriptions
des lois d'échelles physiquement possibles (invariantes d'échelles, puis
covariantes d'échelle, ce qui signifie une invariance de forme des lois
d'échelle) peuvent alors être proposés, depuis l'autosimilarité la plus
simple jusqu'à des lois d'échelle non linéaires (« dynamique d'échelle »),
en incluant les couplages échelle-mouvement qu'on identifie aux transformations de jauge (qu'on évoquera plus loin). Les effets induits par les
structures internes non différentiables sur la dynamique transforment
alors la mécanique classique en une mécanique de type quantique ...