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4' partie : La théorie de la relativité d'échelle :formalisme mathématique
Encadré 4.5 : Dérivée covariante et équations d'Einstein
en relativité généralisée
La dérivée covariante d'un vecteur contravariant s'écrit (ici sous sa forme
de dérivée partielle) :
v_a v
v
p
DllA - JlA + r PJ.l A .
Appliquée à la quadrivitesse ull = d xll 1 ds, elle donne à l'équation du
mouvement une forme « newtonienne » où apparaît une « force » gravitationnelle généralisée :
d 2 xll/ds 2 + rllvp (dxv/ds) (dxP/ds) = 0.
Le déploiement se poursuit en remplaçant les symboles de Christoffels par
leurs expressions en fonction des potentiels de métrique,
rllvp = (1/2) gW., ( àp 9/...v + àv 9}.,p- à')... 9vp),
Les potentiels de métrique sont à leur tour solutions des équations du
champ d'Einstein (c'est-à-dire ici de la géométrie de l'espace-temps), qui
prennent elles-mêmes une forme compactée,
RJ.lV- (1/2) R 9J.lv -/\. 9J.lv =X TJ.lV,
laquelle se déploie à travers l'expression du tenseur de Ricci en fonction
des Christoffels :
RJ.lv = àpr-P J.lV - àv.-P J.lP + rP J.lV 0 p'A. - rP w., 0 vp
En effet, dans le but d'élaborer sa théorie de la relativité du mouvement
généralisée, Einstein a défini trois principes premiers, qui ont transformé
profondément la manière de faire de la physique. Il s'agit du principe
de relativité, dont Einstein a reformulé et généralisé l'énoncé initial dû
à Galilée et repris par Poincaré, du principe de covariance générale et
du principe d'équivalence. Puis il a défini un outil physico-mathématique, appelé aujourd'hui dérivée covariante, chargé de mettre en oeuvre
ces principes, en connexion avec un autre principe essentiel relié à la
description géométrique : le principe géodésique, qui est à la fois une
généralisation du principe de Fermat-Maupertuis et une explicitation
relativiste du principe d'action stationnaire.
Nous allons ici rappeler la nature de ces principes et leur étroite
inter-relation, ainsi que celle de la dérivée covariante associée, en nous
plaçant dans le cadre élargi d'une relativité non forcément réduite à celle
du mouvement. Ceci nous permettra de montrer ensuite comment ces
principes généraux peuvent être appliqués à la construction de nouveaux
outils, dans le cadre de la théorie de la relativité des échelles.
*Le principe de relativité, tel qu'Einstein l'a posé en 1916, énonce que
«les lois de la physique doivent être d'une nature telle qu'elles s'appliquent
4' partie : La théorie de la relativité d'échelle :formalisme mathématique
Encadré 4.5 : Dérivée covariante et équations d'Einstein
en relativité généralisée
La dérivée covariante d'un vecteur contravariant s'écrit (ici sous sa forme
de dérivée partielle) :
v_a v
v
p
DllA - JlA + r PJ.l A .
Appliquée à la quadrivitesse ull = d xll 1 ds, elle donne à l'équation du
mouvement une forme « newtonienne » où apparaît une « force » gravitationnelle généralisée :
d 2 xll/ds 2 + rllvp (dxv/ds) (dxP/ds) = 0.
Le déploiement se poursuit en remplaçant les symboles de Christoffels par
leurs expressions en fonction des potentiels de métrique,
rllvp = (1/2) gW., ( àp 9/...v + àv 9}.,p- à')... 9vp),
Les potentiels de métrique sont à leur tour solutions des équations du
champ d'Einstein (c'est-à-dire ici de la géométrie de l'espace-temps), qui
prennent elles-mêmes une forme compactée,
RJ.lV- (1/2) R 9J.lv -/\. 9J.lv =X TJ.lV,
laquelle se déploie à travers l'expression du tenseur de Ricci en fonction
des Christoffels :
RJ.lv = àpr-P J.lV - àv.-P J.lP + rP J.lV 0 p'A. - rP w., 0 vp
En effet, dans le but d'élaborer sa théorie de la relativité du mouvement
généralisée, Einstein a défini trois principes premiers, qui ont transformé
profondément la manière de faire de la physique. Il s'agit du principe
de relativité, dont Einstein a reformulé et généralisé l'énoncé initial dû
à Galilée et repris par Poincaré, du principe de covariance générale et
du principe d'équivalence. Puis il a défini un outil physico-mathématique, appelé aujourd'hui dérivée covariante, chargé de mettre en oeuvre
ces principes, en connexion avec un autre principe essentiel relié à la
description géométrique : le principe géodésique, qui est à la fois une
généralisation du principe de Fermat-Maupertuis et une explicitation
relativiste du principe d'action stationnaire.
Nous allons ici rappeler la nature de ces principes et leur étroite
inter-relation, ainsi que celle de la dérivée covariante associée, en nous
plaçant dans le cadre élargi d'une relativité non forcément réduite à celle
du mouvement. Ceci nous permettra de montrer ensuite comment ces
principes généraux peuvent être appliqués à la construction de nouveaux
outils, dans le cadre de la théorie de la relativité des échelles.
*Le principe de relativité, tel qu'Einstein l'a posé en 1916, énonce que
«les lois de la physique doivent être d'une nature telle qu'elles s'appliquent