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4' partie : La théorie de la relativité d'échelle :formalisme mathématique
Figure 4.13. Espace à deux dimensions de type hyperbolique.
La découverte de la métrique caractérisant la surface d'une sphère a pu être
généralisée par Gauss, Bolay et Lobatchevski à des espaces hyperboliques infinis
qui ne sont pas (quand leur courbure négative est constante) plongeables dans
l'espace euclidien tridimensionnel.
Encadré 4.4 : Invariant relativiste (relativité générale)
En relativité générale du mouvement, l'invariant relativiste dans un changement de repère est une nouvelle fois généralisé. Son expression minkowskienne de relativité restreinte,
d/ = c 2 dt 2 - (di + di + di ) ,
reste valable localement (en un point) dans un système de coordonnées en
chute libre, en raison du principe d'équivalence. La forme plus générale de la
métrique, incluant l'existence du champ de gravitation et la possibilité de se
placer dans un système de coordonnées curvilignes quelconque, s'écrit :
2
. k
ds = 9jk(x,y,z,t) dxl dx .
Cette notation, qu'on doit à Einstein, signifie qu'on effectue la somme sur
les indices semblables situés en haut et en bas. Les indices courent de 0 à
3 - 0
1
2
3
L
ff' .
. 1 .
(1 1
, ou x = t, x = x, x = y et x = z. es coe 1c1ents 9jk• qUI va a1ent , - ,
-1, -1) et 0 ailleurs dans le cas de la relativité restreinte, forment maintenant
une matrice (un «tenseur») et ne sont plus constants, mais deviennent des
fonctions des coordonnées.
Ce sont eux qui généralisent le potentiel newtonien. Celui-ci n'était donné
que par une seule fonction des coordonnées, c'est ce qu'on appelle un
potentiel scalaire. Le potentiel électromagnétique avait été une première
généralisation du potentiel newtonien : on était passé dans ce cas à un
potentiel vectoriel, c'est-à-dire représenté par un vecteur comprenant quatre
valeurs (trois pour sa partie magnétique et une pour sa partie électrique,
de même que les coordonnées spatiotemporelles). En relativité générale, le
potentiel devient tensoriel, et prend de plus un nouveau sens géométrique
de définition de la structure de l'espace-temps, si bien que ses coefficients
sont appelés potentiels de métrique.
4' partie : La théorie de la relativité d'échelle :formalisme mathématique
Figure 4.13. Espace à deux dimensions de type hyperbolique.
La découverte de la métrique caractérisant la surface d'une sphère a pu être
généralisée par Gauss, Bolay et Lobatchevski à des espaces hyperboliques infinis
qui ne sont pas (quand leur courbure négative est constante) plongeables dans
l'espace euclidien tridimensionnel.
Encadré 4.4 : Invariant relativiste (relativité générale)
En relativité générale du mouvement, l'invariant relativiste dans un changement de repère est une nouvelle fois généralisé. Son expression minkowskienne de relativité restreinte,
d/ = c 2 dt 2 - (di + di + di ) ,
reste valable localement (en un point) dans un système de coordonnées en
chute libre, en raison du principe d'équivalence. La forme plus générale de la
métrique, incluant l'existence du champ de gravitation et la possibilité de se
placer dans un système de coordonnées curvilignes quelconque, s'écrit :
2
. k
ds = 9jk(x,y,z,t) dxl dx .
Cette notation, qu'on doit à Einstein, signifie qu'on effectue la somme sur
les indices semblables situés en haut et en bas. Les indices courent de 0 à
3 - 0
1
2
3
L
ff' .
. 1 .
(1 1
, ou x = t, x = x, x = y et x = z. es coe 1c1ents 9jk• qUI va a1ent , - ,
-1, -1) et 0 ailleurs dans le cas de la relativité restreinte, forment maintenant
une matrice (un «tenseur») et ne sont plus constants, mais deviennent des
fonctions des coordonnées.
Ce sont eux qui généralisent le potentiel newtonien. Celui-ci n'était donné
que par une seule fonction des coordonnées, c'est ce qu'on appelle un
potentiel scalaire. Le potentiel électromagnétique avait été une première
généralisation du potentiel newtonien : on était passé dans ce cas à un
potentiel vectoriel, c'est-à-dire représenté par un vecteur comprenant quatre
valeurs (trois pour sa partie magnétique et une pour sa partie électrique,
de même que les coordonnées spatiotemporelles). En relativité générale, le
potentiel devient tensoriel, et prend de plus un nouveau sens géométrique
de définition de la structure de l'espace-temps, si bien que ses coefficients
sont appelés potentiels de métrique.